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Quantentheorie pp 83–272Cite as

Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik

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Part of the book series: Handbuch der Physik ((HBUP))

Zusammenfassung

Die letzte entscheidende Wendung der Quantentheorie ist erfolgt durch de Broglies Entdeckung der Materiewellen2, Heisenbergs Auffindung der Matrizenmechanik3 und Schrödingers4 allgemeine wellenmechanische Differentialgleichung, welche die Verbindung zwischen diesen beiden Ideenkreisen herzustellen ermöglichte. Durch Heisenbergs Unbestimmtheitsprinzip5 und die an dieses anschließenden prinzipiellen Erörterungen Bohrs6 kamen dann die Grundlagen der Theorie zu einem vorläufigen Abschluß.

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Literatur

  1. Vgl. W. Heisenberg, Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie. Leipzig 1930; N. Bohr, Atomtheorie und Naturbeschreibung (im folgenden zitiert als A. u. N.). Berlin 1931; Solvay-Kongreß 1927; L. DE BROGLIE, Introduction à létude de la mécanique ondulatoire. Paris 1930 (in deutscher Übersetzung Leipzig 1929); E. Schrödinger, Vorlesungen über Wellenmechanik, Berlin 1928.

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  2. L. DE Broglie, Ann. d. phys. (10) Bd. 3, S. 22. 1925 (Thèses. Paris 1924); vgl. auch A. Einstein, Berl. Ber. 1925, S. 9.

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  3. W. Heisenberg, ZS. f. Phys. Bd. 33, S. 879. 1925; vgl. auch M. Born U. P. Jordan, ebenda Bd. 34, S. 858. 1925; M. BORN, W. Heisenberg u. P. Jordan, ebenda Bd. 35, S. 557. 1926; P. A. M. DIRAC, Proc. Roy. Soc. London Bd. 109, S. 642. 1925.

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  4. E. Schrödinger, Ann. d. Phys. (4) Bd. 79, S. 361, 489, 734. 1926; Bd. 80, S. 437. 1926; Bd. 81, S. 109. 1926. Zusammengefaßt in Abhandlungen zur Wellenmechanik. Leipzig 1927.

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  5. W. Heisenberg, ZS. f. Phys. Bd. 43, S. 172. 1927.

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  6. N. Bohr, Naturwissensch. Bd. 16, S. 245. 1928 (auch abgedruckt in A. u. N. als Aufsatz II).

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  7. Vgl. die erste Auflage dieses Bandes, Kap. 1, S. 82.

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  8. Andererseits weist N. Bohr, Faraday lecture [Journ. Chem. Soc. 1932, S. 349, insbes. S. 376 u. 377] darauf hin, daß auch in der klassischen statistischen Mechanik, freilich in einem etwas anderen Sinne, von Komplementarität der Kenntnis der mikroskopischen Molekularbewegung einerseits, der makroskopischen Temperatur des Systems andererseits, gesprochen werden kann.

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  9. Auf diesen Umstand ist besonders von E. Schrödinger (Berl. Ber. 1931, S. 238) hingewiesen worden. In diesem Zusammenhang wird dort auch betont, daß eine ideale, d. h. die Zeit exakt angebende Uhr, eine unendlich große Energieunsicherheit, also auch eine unendlich große Energie besitzen würde. Nach unserer Meinung bedeutet das allerdings nicht, daß die Benutzung des gewöhnlichen Zeitbegriffes in der Quantenmechanik widerspruchsvoll sei, da eine solche ideale Uhr beliebig angenähert werden kann. Man denke sich z. B. einen sehr kurzen (im Limes unendlich kurzen) Lichtwellenzug, der (infolge des Vorhandenseins geeigneter Spiegel) einen geschlossenen Weg beschreibt. (Dabei bleibt allerdings, wie im Text bereits hervorgehoben, die Frage der Existenz solcher Spiegel noch außer Diskussion.)

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  10. Vgl. hierzu H. Weyl, Gruppentheorie u. Quantenmechanik, 2. Aufl., Leipzig 1931, Anhang 1; W. Heisenberg, Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, S. 13. Leipzig 1930. Für Verallgemeinerungen E. U. Condon, Science 1929; H. P. Robertson, Phys. Rev. Bd. 34, S. 163. 1929, und vor allem E. Schrödinger (Berl. Ber. 1930, S.296), wo Sätze der Form (51), (52) zum erstenmal allgemein bewiesen sind.

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  11. Spezielle Lösungen der Wellengleichung, insbesondere für den Fall, daß für ip (x i; 0) die GAusssche Fehlerfunktion (55) eingesetzt wird, findet man bei W. Heisenberg, ZS. f. Phys. Bd. 43, S. 172. 1927; E. H. Kennard, ebenda Bd. 44, S. 326. 1927; C. G. DARWIN, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 117, S. 258. 1927.

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  12. Dies wurde allgemein zuerst von P. Jordan (ZS. f. Phys. Bd. 40, S. 809. 1927) bemerkt.

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  13. E. Schrödinger, Ann. d. Phys. Bd. 79, S. 361. 1926. Auf die Notwendigkeit einer statistischen Deutung der Wellenfunktion hat besonders M. Born (ZS. f. Phys. Bd. 38, S. 803. 1926) hingewiesen, in seiner Behandlung der Stoßvorgänge (vgl. Kap. 5, Ziff. 11).

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  14. Eine relativistische Verallgemeinerung hiervon bei E. Schrödinger, Ann. d. Phys. Bd. 82, S. 265. 1927; vgl. dazu auch Abschnitt B, Ziff. 2d dieses Artikels.

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  15. P. Ehrenfest, ZS. f. Phys. Bd. 45, S. 455. 1927.

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  16. A. Sommerfeld, Wellenmech. Ergänzungsband zu Atombau u. Spektrallinien, Braunschweig 1929, Kap. II, § 9.

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  17. Wir bevorzugen die Schreibweise von H als schiefsymmetrischer Tensor (Hka = —Hak), so daß H23, H31, H12 bzw. die 1, 2, 3-Komponente von H bedeuten. Das vektorielle Produkt

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  18. In historischer Hinsicht sei bemerkt, daß dies zuerst von LARMOR gezeigt wurde in dem Buch Aether and matter, Cambridge 1900

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  19. Die Invarianz der Wellengleichung gegenüber der in Rede stehenden Gruppe von Substitutionen ist (im Falle einer relativistischen Verallgemeinerung dieser Gleichung) zuerst von V. Focx (ZS. f. Phys. Bd. 39, S. 226. 1927) angegeben worden. Die Analogie dieser Gruppe zur Eichgruppe in einer älteren Theorie von WEYL über Gravitation und Elektrizität wurde von F. London (ZS. f. Phys. Bd. 42, S. 375. 1927) angegeben. Von WEYL selbst (ebenda Bd. 56, S. 330. 1929) wurde der Zusammenhang dieser Gruppe mit dem Erhaltungssatz für die Ladung bei Ableitung der Wellengleichung aus einem Variationsprinzip hervorgehoben. tber die Eichgruppe in der relativistischen Wellengleichung vgl. Abschnitt B, Ziff. 2d.

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  20. Vgl. B. Ponor.sxy, Phys. Rev. Bd. 32, S. 812, 1928.

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  21. M. Born, P. Jordan U. W. Heisenbberg, ZS. f. Phys. Bd. 35, S. 557. 1926.

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  22. Vgl. dazu J. v. Neumann, Göttinger Nachr. 1927, S. 1. Später wurde diese Frage wieder diskutiert von G. JAFFE`, ZS. f. Phys. Bd. 66, S. 770. 1930. Es scheint uns jedoch, daß in der zitierten Arbeit von Neumann die allgemeinste Beantwortung der Frage gegeben ist.

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  23. Vgl. hierzu P. A. M. Dirac, Quantenmechanik, S. 187.

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  24. R. COURANT und D. HILBERT, Methoden der Math. Physik, S. 258. Berlin 1924.

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  25. Dieser Standpunkt ist entgegengesetzt dem anderen, daß jedem HERuITaschen Operator eine Größe oder „Observable“ des Systems entspricht, und daß es immer einen direkten physikalischen Sinn haben soll, von der Wahrscheinlichkeit dafür zu sprechen, daß diese Größe F im betreffenden Zustand bestimmte Werte hat (vgl. hierzu Ziff. 9).

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  26. W. HEI9ENBERG, ZS. f. Phys. Bd. 33, S. 879. 1925.

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  27. In der älteren Literatur über Quantenmechanik findet sich an Stelle von (176) oft die Operatorgleichung die aus (176) formal durch Einsetzen von t für F entsteht. Es ist indessen im allgemeinen nicht möglich, einen HERMITESchen Operator (z. B. als Funktion der p und q) zu konstruieren, der diese Gleichung erfüllt. Dies ergibt sich schon daraus, daß aus der angeschriebenen V.-R. gefolgert werden kann, daß H kontinuierlich alle Eigenwerte von —ao bis -{-ao besitzt (vgl. DIRAC, Quantenmechanik, S. 34 u. 56), während doch andererseits diskrete Eigenwerte von H vorkommen können. Wir schließen also, daß auf die Einführung eines Operators t grundsätzlich verzichtet und die Zeit t in der Wellenmechanik notwendig als gewöhnliche Zahl („c-Zahl“) betrachtet werden muß (vgl. hierzu auch E. Schrödinger, Berl. 13er. 1931, S. 238).

    Google Scholar 

  28. J. V. NEUMANN, Math. Ann. Bd. 102, S. 49, 370. 1929; Journ. f. reine u. angew. Math. Bd. 161, S. 208. 1929, ferner M. H. STONE, Proc. Nat. Ac. Bd. 15, S. 198 u. 423. 1929.

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  29. Außer den unter 1 zitierten Arbeiten vgl. A. WINTNER, Math. ZS. Bd. 30, S. 228. 1929 sowie das Buch dieses Autors: Spektraltheorie der unendlichen Matrizen. Leipzig 1929.

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  30. Vgl. hierzu auch H. Weyl, ZS. f. Phys. Bd. 46, S. 1. 1927, und dessen Buch, Gruppentheorie u. Quantenmechanik, 2. Aufl., bes. S. 36. Leipzig 1931.

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  31. J. V. Neumann, Göttinger Nachr. 1927, S. 245; vgl. auch P. A. M. DIRAC, Proc. Cambridge Phil. Soc. Bd. 25, S. 62. 1929. Ferner ebenda Bd. 26,’ S. 376. 1930 und Bd. 27, S. 240. 1930.

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  32. Die Behandlung der allgemeinen Quantenstatistik auf wellenmechanischer Grundlage fällt außerhalb des Rahmens des vorliegenden Beitrages, bzw. Handbuchbandes. Vgl. etwa P. JORDAN, Statistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage. Braunschweig 1933.

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  33. P. Ehrenfest, Ann. d. Phys. Bd. 51, S. 327. 1916. Von Bohr wurde später besonders die Frage der Anwendbarkeit der klassischen Mechanik bei den adiabatischen (unendlich langsamen) Prozessen diskutiert. Vgl. Kap. 1 (A. RusiNowicz), Ziff. B. Diese Seite des Problems ist jedoch jetzt nicht mehr von Interesse, da die klassische Mechanik schon bei der Beschreibung der Quantenzustände selbst versagt.

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  34. M. Born, ZS. f. Phys. Bd. 40, S. 167. 1926. Spätere Arbeiten über diesen Gegenstand: E. Fermi u. F. Persico, Rend. Lincei (6) Bd. 4, S. 452. 1926; M. Born H. V. Focx, ZS. f. Phys. Bd. 51, S. 165. 1928; P. Guttinger, ebenda Bd. 73, S. 169. 1931.

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  35. Vgl. die in Anm. 1, S. 161 zitierten Arbeiten.

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  36. M. V. Laue, Ann. d. Phys. Bd. 76, S. 619. 1925.

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  37. Vgl. M. Born u. J. R. Oppenheimer, Ann. d. Phys. Bd. 84, S. 457. 1927. Zur allgemeinen Methode vgl. ferner J. Frenkel, ZS. f. Phys. ZS. der Sowjetunion Bd. 1, S. 99. 1932. Ferner L. Landau, ebenda Bd. 1, S. 88 und Bd. 2, S. 46. 1932.

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  38. Vgl. hierzu C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 117, S. 258. 1927, bes. § 10.

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  39. Dieser Ansatz stammt von G. Wentzel, ZS. f. Phys. Bd. 38, S. 518. 1926, und L. Brillouin, C. R. Bd. 183, S. 24. 1926.

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  40. In dem Buch P. A. M. Dirac, Quantenmechanik, Leipzig 1930, ist in Gleichung (14), S. 127, der Term, welcher in (265’) die Form hat P qk, versehentlich fortgelassen worden.

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  41. H. A. Kramers, ZS. f. Phys. Bd. 39, S. 828. 1926; A. Zwaan, Dissert. Utrecht 1929, s. insbesondere Kap. III, § 2; K. F. Niessen, Ann. d. Phys. Bd. 85, S. 497. 1928; H. A. Kramers U. G, P. ITTMANN, ZS. f. Phys. Bd. 58, S. 217. 1929 bes. S. 221 und 222.

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  42. Ein direkter Nachweis des Teilchens auf dem Potentialberg durch Ortsbestimmung ist indessen immer mit einer solchen Unbestimmtheit der dem Teilchen zugeführten Energie verbunden, daß es nach dieser Energiezufuhr auch klassisch auf den Potentialberg gelangen könnte.

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  43. Vgl. hierzu besonders auch E. Schrödinger, Berl. Ber. 1929, S. 668.

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  44. P. Debye, Phys. ZS. Bd. 28, S. 170. 1927. 2 P. DEBYE, Phys. ZS. Bd. 28, S. 170. 1927. 8 C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 117, S. 258. 1927, insbesondere § 8.

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  45. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 111, S. 279. 1926.

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  46. E. Schrödinger, Naturwissensch. Bd. 14, S. 664. 1926.

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  47. E. H. Kennard, ZS. f. Phys. Bd. 44, S. 326. 1927.

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  48. C. G. Darwin, 1. c. Anm. 3, S. 174.

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  49. Über die Beziehungen der Wellenmechanik zur Gruppentheorie existieren ausführliche Lehrbücher: H. WEYL, Gruppentheorie und Quantenmechanik, 2. Aufl., Leipzig 1931; E. WIGNER, Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atome, Berlin 1931; B. L. Van Der Waerden, Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik, Berlin 1932. Wir geben hier nur eine sehr gedrängte Übersicht über den Gegenstand und verweisen für alle Beweise und Detailfragen auf diese Lehrbücher.

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  50. Über den Beweis vgl. z. B. M. BORN u. P. JORDAN, Elementare Quantenmechanik; P. A. M. DIRAC, Quantenmechanik. Leipzig 1930.

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  51. Vgl. hierzu auch Kap. 3, Ziff. 39 u. 42 ds. Handb.

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  52. Dies geschieht für jedes m durch eine unitäre Matrix S (m1, j). Man kann sie explizite berechnen. Vgl. z. B. VAN DER WAERDEN, Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik. Berlin 1932, §18; ferner H. A. KRAMERS U. H. C. BRINKMANN, Zitate in Anm. 2, S.183.

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  53. Über einen Beweis dieser Folgerung mittels der Matrixrechnung vgl. M. Born u. P. JORDAN, Elementare Quantenmechanik, S. 164. Berlin 1930.

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  54. Neben den in Anm.4, S.176 zitierten Lehrbüchern vgl. hierzu auch H. A. KRAMERS, Proc. Amsterdam Bd. 33, S. 953 1930, und H. C. BRINKMAN, Dissert. Utrecht 1932, wo besonders auch Anwendungen auf die Berechnung verschiedener Matrixelemente zu finden sind.

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  55. W. PAULI, ZS. f. Phys. Bd. 43, S. 601. 1927.

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  56. Ursprünglich hatte man diese V.-R. einfach aus der Analogie zu denjenigen für lk begründet, welch letztere aus den kanonischen V.-R. für pk und qk deduzierbar sind. Auf die Möglichkeit der kinematischen Herleitung der V.-R. für die sk aus der Drehgruppe haben zuerst J. v. NEUMANN u. E. WIGNER (ZS. f. Phys. Bd. 47, S. 203. 1927) hingewiesen.

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  57. Vgl. hierzu die in Anm. 4, 5.176 zitierten Lehrbücher. In historischer Hinsicht sei folgendes bemerkt. Das Problem mehrerer gleichartiger Teilchen wurde wellenmechanisch zuerst behandelt von P. A. M. DIRAC, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 112, S. 661. 1926 (hier noch ohne Spin), und W. HEISENBERG, ZS. f. Phys. Bd. 40, S. 501. 1926 (hier findet sich zuerst die wichtige Anwendung auf das He-Spektrum, einschließlich Spin); in den beiden genannten Arbeiten findet sich auch die allgemeine wellenmechanische Formulierung des Ausschließungsprinzips (W. PAULI, ZS. f. Phys. Bd. 31, S. 765. 1925). Die Statistik von Teilchen mit symmetrischen Zuständen ist zuerst von S. N. BOSE (ZS. f. Phys. Bd. 26, S. 178. 1924) und A. EINSTEIN (Berl. Ber. 1924, S. 261; 1925, S. 1), die von Teilchen mit antisymmetrischen Zuständen von E. FERMI (ZS. f. Phys. Bd. 36, S. 902. 1926) und P. A. M. DIRAC (1. c.) aufgestellt. Der allgemeine Fall von N Teilchen und sein Zusammenhang mit der Gruppentheorie findet sich zuerst vollständig bei E. WIGNER, ZS. f. Phys. Bd. 40, S. 883. 1927. Anwendung auf Kerne finden sich bei W. HEISENBERG (ebenda Bd. 41, S. 239. 1927) und F. HUND (ebenda Bd. 42, S. 93. 1927). Der Beweis, daß die Protonen ebenso wie die Elektronen den Spin 1/2 haben und dem Ausschließungsprinzip gehorchen, wurde von D. M. DENNISON [Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 115, S. 483. 1927] erbracht durch die Deutung des Abfalls der Rotationswärme des Wasserstoffes. Von N. F. MOTT [ebenda (A) Bd. 125, S. 222. 1929] und R. OPPENHEIMER (Phys. Rev. Bd. 32, S. 361. 1928) wurde gezeigt, daß die Symmetrieklasse der Eigenfunktionen bei Stoßproblemen wesentlich ist. Anschließend an die von N. F. MOTT [Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 126, S. 259. 1929] ausgeführte Durchrechnung des Stoßes zweier gleicher Punktladungen ergab sich dann unter anderem empirisch, daß die He-Kerne (a-Teilchen) symmetrische Zustände haben (vgl. hierzu Kap. 5, Ziff. 4, Kap. 6, Ziff. 5 ds. Handb.).

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  58. Es ist oft versucht worden, diese Einschränkung der Möglichkeiten dadurch zu erzwingen, daß man geeignete Singularitäten in die Wechselwirkungsenergie zweier Elementarteilchen einführt, im Fall, daß Ort und Spinkoordinaten der Teilchen koinzidieren. Es soll dann erreicht werden, daß nur die antisymmetrischen Eigenfunktionen regular bleiben. In mathematisch korrekter Weise geschah dies durch G. JAFFE, ZS. f. Phys. Bd. 66, S. 748. 1930. Die Singularitäten sind jedoch von solcher Art, daß sie kaum der Wirklichkeit entsprechen dürften.

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  59. Vgl. Kap. 3, Abschn. B des Handb.

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  60. Vgl. P. A. M. DIRAC, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 123, S. 714. 1929; J. C. SLATER, Phys. Rev. Bd. 34, S. 1293. 1929; für zusammenfassende Darstellungen, Rapport du Congrès de Solvay 1930, Referat PAULI, besonders I, § 4; ferner M. BORN, ZS. f. Phys. Bd. 64, S. 729. 1930; Ergebn. d. exakt. Naturwissensch. Bd. 10, S. 387. 1931.

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  61. Über die weiteren thermodynamischen Folgerungen und Anwendungen hiervon vgl. die Monographie von L. BRILLOUIN, Die Quantenstatistik. Berlin 1931; ferner P. JORDAN, Statistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage. Braunschweig 1933.

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  62. Ich verdanke die Ausführung der Rechnung nach dieser Methode Herrn R. PEIERLS.

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  63. W. HEISENBERG, Leipziger Akad., math.-phys. Kl. Bd. 83, S. 3. 1931.

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  64. P. JORDAN U. O. KLEIN, ZS. f. Phys. Bd. 45, S. 751. 1927.

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  65. P. JORDAN U. E. WIGNER, ZS. f. Phys. Bd. 47, S. 631. 1928.

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  66. Bei dieser Methode wird die Energiedichte kräftefreier Massenpunkte formal analog zur Energiedichte einer schwingenden Saite mit quantisierten Eigenschwingungen. Dieses letztere System wurde schon von M. Born, W. HEISENBERG U. P. JORDAN (ZS. f. Phys. Bd. 35, S. 557. 1925) auf seine Schwankungseigenschaften untersucht.

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  67. Vgl. für den Beweis außer den zitierten Arbeiten auch V. Focx, ZS. f. Phys. Bd. 75, S. 622. 1932 sowie das Buch von W. HEISENBERG, Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie. Leipzig 1930.

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  68. Auch für zeitabhängige Hamiltonfunktionen bleibt nach Ziff. 8 Orthogonalität und Normierung eines Lösungssystems der Wellengleichung im Lauf der Zeit bestehen, falls nur die Hamiltonfunktion reell ist.

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  69. Wir ersetzen die dort eingeführte Ladung 0`) bzw. e,5 durch die Elektronenladung (—e).

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  70. Bezüglich der Durchführung der Rechnung vgl. neben der zitierten Arbeit von KLEIN besonders für den Fall kurzer Wellenlängen: I. Waller, Naturwissensch. Bd. 15, S. 969. 1927; Phil. Mag. Bd. 4, S. 1228. 1927.

    Google Scholar 

  71. Vgl. hierzu W. HEISENBERG, ZS. f. Phys. Bd. 43, S. 172. 1927; damals blieb die Frage des Zusammenhanges der Phasen der Eigenfunktionen im Atom mit den Eigenschaften des emittierten Lichtes noch ungeklärt.

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  72. Theorie des Elektrons: P. A. M. DIRAC, Proc. Roy. Soc. London Bd. 117, S. 610; Bd. 118, S. 341. 1928; Theorie des Strahlungsfeldes, ebenda Bd. 114, S. 243, 710. 1927; vgl. auch das Lehrbuch von P. A. M. Dirac, Quantenmechanik. Leipzig 1930.

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  73. Im folgenden bezeichnen wir stets mit griechischen Buchstaben von 1 bis 4, mit lateinischen von 1 bis 3 laufende Indizes, mit x4 die imaginäre Zeitkoordinate x4 = ict, mit xo die reelle

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  74. E. Schrödinger, Ann. d. Phys. Bd. 81, S. 129. 1926; speziell § 6; 0. KLEIN, ZS. f. Phys. Bd. 37, S. 895. 1926; V. Fock, ebenda Bd. 38, S. 242; Bd. 39, S. 226. 1926; J. KUDAR, Ann. d. Phys. Bd. 81, S. 632. 1926. Betreffend die Ausdrücke für den Viererstrom

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  75. W. Gordon, ZS. f. Phys. Bd. 40, S. 117. 1926. Bei allen Autoren ist sogleich der allgemeinere Fall eines geladenen Teilchens in einem äußeren elektromagnetischen Feld betrachtet, der im Text erst später (s. unter Ziff. 2d) besprochen wird.

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  76. Vgl. hierzu auch J. v. Neumann, ZS. f. Phys. Bd. 48, S. 868. 1928.

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  77. Vgl. hierzu V. FocK, ZS. f. Phys. Bd. 57, S. 261. 1929; C. G. DARWIN, Proc. Roy. Soc. London Bd. 120, S. 621. 1928; G. E. Ljhlenbeck U. O. LAPORTE, Phys. Rev. Bd. 37, S. 1380. 1931. Diese Relationen, die unabhängig von einer speziellen Wahl der Matrizen gelten müssen, sind bisher nur mit Hilfe von speziellen Ansätzen für die rechnerisch verifiziert worden. Ihre bisherige Herleitung erscheint unbefriedigend und läßt ihren eigentlichen Sinn nicht hervortreten.

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  78. Vgl. P. A. M. Dirac, Quantenmechanik, S. 258 u. 259.

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  79. B. L. Van Der Waerden, Göttinger Nachr. 1929, S. 100. Weitere Anwendungen bei G. E. Uhlenbeck U. O. Laporte, Phys. Rev. Bd. 37, S. 1380. 1931.

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  80. Hierauf wurde von H. Weyl (ZS. f. Phys. Bd. 56, S. 330. 1929) hingewiesen.

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  81. E. Schrödinger, Berl. Ber. 1930, S. 418; 1931, S. 63; V. FocK, ZS. f. Phys. Bd. 55, S. 127. 1929; Bd. 68, S. 527. 1931 (in dieser Arbeit auch Anwendungen auf den Fall der Anwesenheit von Kräften). Ferner die Diskussion. E. Schrödinger, ebenda Bd. 70, S. 808. 1931; V. Focx, ebenda Bd. 70, S. 811. 1931.

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  82. G. BREIT, Proc. Nat. Acad. Amer. Bd. 14, S. 553. 1928; vgl. auch ebenda Bd. 17, S. 70. 1931.

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  83. W. Gordon, ZS. f. Phys. Bd. 48, S. 11. 1928; C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 118, S. 654. 1928. Näheres s. Kap. 3 ds. Handb.

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  84. Klein U. Y. Nishina, ZS. f. Phys. Bd. 52, S. 853. 1929; Y. NISHINA, ebenda Bd. 52, S. 869. 1929; vgl. auch J. WALLER, ebenda Bd. 58, S. 75. 1929. Näheres s. Kap. 5 ds. Handb.

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  85. C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 118, S. 654. 1928.

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  86. W. Gordon, ZS. f. Phys. Bd. 50, S. 630. 1927.

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  87. Vgl. hierzu auch C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London Bd. 120, S. 621. 1928; über die Größe des magnetischen Momentes in wasserstoffähnlichen Atomen. G. Breit, Nature Bd. 122, S. 649. 1928.

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  88. I. Waller, ZS. f. Phys. Bd. 58, S. 75. 1929.

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  89. Für die Durchführung vgl. W. PAULI, Heiv. Phys. Acta Bd. 5, S. 179. 1932.

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  90. N. Bohr, Atomtheorie und Naturbeschreibung. Berlin 1931. Einleitende Übersicht, S. 9; ferner dessen Faraday Lecture, Journ. Chem. Soc. 1932, S. 349, insbes. S. 367 u. 368.

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  91. Für eine nähere Diskussion vgl. N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 124, S. 425. 1929; C. G. Darwin, ebenda Bd. 130, S. 632. 1930; ferner den Bericht über den Solvay-Kongreß 1930, Referat W. PAULI über das magnetische Elektron.

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  92. N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 124, S. 425. 1929.

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  93. Vgl. A. Lande, Naturwissensch. Bd. 17, S. 634. 1929; E. Fues U. H. Hellmann, Phys. ZS. Bd. 31, S. 465. 1930; N. F. Mott, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 125, S. 222. 1929; ferner in den Anm. 2 zitierten Solvay-Bericht.

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  94. O. Klein, ZS. f. Phys. Bd. 53, S. 157. 1929.

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  95. Vgl. W. Pauli, 1. C. Anm. 1, S. 241; für spezielle Potentialverläufe F. Sauter, ZS.

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  96. Phys. Bd. 69, S. 742. 1931; Bd. 73, S. 547. 1931. Für ein homogenes Feld der Stärke F m2 c3

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  97. Für die spontane Emission eines Lichtquants durch ein Elektron unter Übergang in einen Zustand negativer Energie wäre in den Formeln E1 = P1 = 0 zu setzen. Also folgte das Verschwinden der rechten Seite der letzten Gleichung. Dieses ist aber nur möglich, wenn Ei = Pi = 0, d. h. der betrachtete Übergang ist unmöglich. Er erfordert die Emission von mindestens zwei Lichtquanten.

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  98. Manche Autoren bevorzugen die Diskussion des letzteren Vorganges, da hierfür bei der korrespondenzmäßigen Behandlung (Abschn. A, Ziff. 16) die erst durch die Lichtquantentheorie gerechtfertigte Vorschrift II (S. 129) nicht benötigt wird. Die Verbindung zwischen spontaner und induzierter Emission sowie zwischen korrespondenzmäßiger und Lichtquantentheorie scheint uns jedoch eine sehr enge zu sein, so daß es unzweckmäßig sein dürfte, an dieser Stelle eine prinzipielle Unterscheidung einzuführen.

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  99. J.R. Oppenheimer, Phys. Rev. Bd. 35, S. 939. 1930.

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  100. Die Häufigkeit dieser Prozesse ist berechnet bei J. R. OPPENHEIMER, 1. c., und P. A. M. Dirac, Proc. Cambridge Phil. Soc. Bd. 26, S. 361. 1930. DIRAC bevorzugt aus dem in Anm. 2 angegebenen Grund die Diskussion derjenigen induzierten Emission, bei der anfangs zwei Lichtquanten anwesend sind, deren Frequenzen mit denen der emittierten Quanten übereinstimmen.

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  101. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 126, S. 360. 1931; vgl. auch ebenda Bd. 133, S. 60. 1931.

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  102. E. Schrödinger, Berl. Ber. 1931, S. 63.

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  103. L. Landau U. R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 69, S. 56. 1931.

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  104. Man sieht hieraus übrigens, daß eine universelle kleinste Länge sicher nicht existieren kann, wie dies auch aus Gründen der relativistischen Invarianz hervorgeht.

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  105. Einen ähnlichen Standpunkt vertritt jetzt E. Schrödinger, Berl. Ber. 1931, S. 238.

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  106. N. Bohr, Faraday Lecture. Journ. Chem. Soc. 1932, S. 349.

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  107. Wir schreiben dk(3) als Abkürzung für dk1 dk2 dk3 ebenso dx(3) als Abkürzung für dxl dx2 dx3.

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  108. Vgl. C. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. London (A) Bd. 136, S. 36. 1932.

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  109. Diese Relationen finden sich zuerst in einer etwas anderen, vierdimensional geschriebenen Form bei P. Jordan u. W. Pauli, ZS. f. Phys. Bd. 47, S. 151. 1927; in der hier verwendeten Form bei W. Heisenberg U. W. Pauli, ebenda Bd. 56, S. 1. 1927, II. Kap. § 4 und 5.

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  110. Vgl. L. Landau u. R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 62, S. 188. 1930.

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  111. Die Einführung der Größen F und F* zur Vermeidung der Nullpunktsenergie findet sich bei L. Rosenfeld u. J. Solomon, Journ. de phys. (7) Bd. 2, S. 139. 1931, sowie bei J. Solomon, Thèse de doctorat, Paris 1931. Die dort angegebenen Vertauschungsrelationen

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  112. Vgl. hierzu L. Landau u. R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 69, S. 56. 1931; insbesondere § 3 u. 4; W. Heisenberg, Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, Rap. 3, § 2.

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  113. Die Ungenauigkeiten (159), (160) wurden unabhängig von der Frage betrachtet, auf welchen Raumteil eine bestimmte Ladung e zusammengedrängt werden kann. Für ein Elektron folgt bereits aus (156), (157) ohne Betrachtung der Ausstrahlung

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  114. L. Landau u. R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 62, S. 188. 1930; vgl. auch J. R. OPPENHEIMER, Phys. Rev. Bd. 38, S. 725. 1931.

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  115. L. Landau u. R. Peierls, 1. C.

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  116. Zusammenfassende Berichte: L. Rosenfeld, Mém. de l’Inst. Henri Poincaré Bd. 2, S. 24. 1932; E. Fermi, Rev. of Mod. Physics Bd. 4, S. 87. 1932; Originalarbeiten: G. Mie, Ann. d. Phys. (4) Bd. 85, S. 711. 1928; W. Heisenberg u. W. Pauli, I, ZS. f. Phys. Bd. 56, S. 1. 1929; II, ebenda Bd. 59, S. 168. 1929 (Bemerkungen dazu: L. Rosenfeld, ebenda Bd. 58, S. 540. 1929) und Bd. 63, S. 574. 1930; E. Fermi, Lincei Rend. (6) Bd. 9, S. 881. 1929; Bd. 12, S. 431. 1930; L. Rosenfeld, Ann. d. Phys. Bd. 5, S. 113. 1930.

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  117. P. A. M. DIRAC, Proc. Roy. Soc. London Bd. 114, S. 243, 710. 1927. DIRAC verwendete erstens bei der Quantelung der Strahlung stehende Wellen und nicht fortschreitende, zweitens war damals seine Theorie des Elektrons noch nicht entstanden und er setzte des Stelle von cl (aj ai -}- mc[1) im Hamiltonoperator ein. Dies ist für kleine Teilchengeschwindigkeiten näherungsweise richtig. — Daß die Gleichungen (189), (190) aus der Quantenelektrodynamik folgen, wurde von J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. Bd. 35, S. 461. 1930 und E. Fermi, Lincei Rend. Bd. 12, S. 431. 1930, gezeigt.

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  118. L. Landau u. R. Peierls, ZS. f. Phys. Bd. 62, S. 188. 1930.

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  119. W. Heisenberg, Ann. d. Phys. (5) Bd. 9, S. 338. 1931. — Im Gegensatz zu Heisenberg verwenden wir hier nicht die Methode der Quantelung der Materiewellen; die Wechselwirkung zwischen den Elektronen des Atoms kann dann beliebig sein.

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  120. Vgl. hierzu auch W. Heisenberg, Die physikalischen Prinzipien der Quantenmechanik, § 2d. Leipzig 1930.

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  121. Ich verdanke diese Bemerkung Herrn R. Peierls. — tYber den Fall der Selbstenergie beim harmonischen Oszillator vgl. auch L. Rosenfeld, ZS. f. Phys. Bd. 70, 5.454. 1931.

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  122. I. Waller, ZS. f. Phys. Bd. 62, S. 673. 1930.

    Google Scholar 

  123. J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. Bd. 35, S. 461. 1930.

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  124. Vgl. hierzu M. Born u. G. Rumer, ZS. f. Phys. Bd. 69, S. 141. 1931.

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  125. Näherungsweise Ansätze für dieses liegen vor von G. Breit, Phys. Rev. Bd. 34, S. 553. 1929; Bd. 36, S. 383. 1930 (magnetische Wechselwirkung, aber ohne Retardierung), siehe Kap. 3, Ziff. 22, ds. Handb., und C. Moller, ZS. f. Phys. Bd. 70, S. 786. 1931 (Stöße mit schwacher Wechselwirkung, retardiert behandelt), ferner Ann. d. Phys. Bd. 14, S. 531. 1932. Siehe hierzu Kap. 3, Ziff. 50, und Kap. 5, Ziff. 6, ds. Handb. Vgl. auch A. D. Fokker, Physica Bd. 12, S. 145. 1932 und ZS. f. Phys. Bd. 58, S. 386. 1929, wo ein Fall eines Zweikörperproblems mit teilweise retardierten, teilweise avancierten Potentialen behandelt wird, bei dem klassisch keine Ausstrahlung erfolgt.

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  126. L. ROSENFELD, ZS. f. Phys. Bd. 65, S. 589. 1930; J. SOLOMON, ebenda Bd. 71, S. 162. 1931.

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  1. Zürich, Schweiz

    W. Pauli

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  1. W. Pauli
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H. Bethe F. Hund N. F. Mott W. Pauli A. Rubinowicz G. Wentzel A. Smekal

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Pauli, W. (1933). Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik. In: Bethe, H., et al. Quantentheorie. Handbuch der Physik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52619-0_2

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