Neuer Beweis für die Funktionalgleichung der Dedekindschen Zetafunktion

Zusammenfassung

Für die Fortsetzbarkeit und die Funktionalgleichung seiner Zetafunktion hat Riemann zwei Beweise gegeben. Der eine benutzt den Integralsatz von Cauchy, der andere eine Formel aus der Theorie der Thetafunktionen. In seiner Arbeit „Über die Zetafunktion beliebiger algebraischer Zahlkörper“ (Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1917, S. 77–89 ) ist es Hecke gelungen, den zweiten Riemannschen Ansatz auf den Beweis der Fortsetzbarkeit und der Funktionalgleichung der Dedekindschen Zetafunktion zu übertragen. Ich werde im folgenden zeigen, daß auch die Idee des ersten Beweises von Riemann sich sinngemäß bei der Untersuchung der ζ-Funktion eines Zahlkörpers verwenden läßt. Dies gilt für die allgemeinsten Heckeschen — Funktionen mit Charakteren ; ich beschränke mich aber der Einfachheit halber auf die gewöhnliche Dedekindsche ζ-Funktion eines total reellen algebraischen Zahlkörpers K.