Herleitung der Differentialgleichungen aus dem Variationsprinzip

Zusammenfassung

Im Kap. 2 wird ein anschaulicher Weg zur Herleitung der Differentialgleichungen mit Hilfe der elementaren Gleichgewichtsbedingungen beschritten. Aus dem Tragwerk wird ein Element der Länge dx herausgeschnitten, an dem die Schnittkräfte als äußere Lasten wirken. Die an den unabhängigen virtuellen Verrückungen des Elements von diesen Lasten geleistete Arbeit muß verschwinden, sofern sie sich im Gleichgewicht befinden. Von den Schwierigkeiten, die sich bei dieser Betrachtungsweise auftun, seien nur einige stellvertretend aufgezählt:

• Es muß darauf geachtet werden, welche differentielle Größenordnung die einzelnen Arbeitsanteile haben und ob die Spannungen selbst oder ihre Inkremente Arbeit leisten. Ferner sind zwei Typen von virtuellen Verrückungszuständen notwendig, um sämtliche Arbeitsanteile zu erfassen. Für die Ermittlung der Randbedingungen bei x = const müssen gesonderte Überlegungen angestellt werden. Dafür wird aber die unstetige Querschnittsgeometrie durch die Matrizenformulierung erfaßt und eine für die Programmierung unmittelbar verwendbare Darstellung erreicht.

• In diesem Kapitel soll ein anderer, mehr formaler Weg der Herleitung der Gleichgewichtsbedingungen vorgestellt werden, der zwar weniger anschaulich ist, bei dem aber einige der genannten Schwierigkeiten umgangen werden. Das Tragwerk wird nun insgesamt einer virtuellen Verrückung unterworfen und der Ausdruck für die Variation des Potentials der äußeren und inneren Kräfte aufgestellt. Durch Einsetzen der Verschiebungen und mehrfache partielle Integration ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen in Form eines entkoppelten Differentialgleichungssystems. Die Randbedingungen fallen dabei automatisch mit ab.