Nachwort zu Hilberts algebraischen Arbeiten

Zusammenfassung

Von Hilbebts algebraischen Arbeiten haben vorwiegend die Abhandlungen „16. Über die Theorie der algebraischen Formen“und,,19. Über die vollen Invariantensysteme“einen umwälzenden Einfluß auf das algebraische Denken gehabt. Diese Arbeiten bilden den Abschluß von Hilbebts invariantentheoretischen Untersuchungen; sie ragen aber in Methode und Bedeutung über den Bereich der Invariantentheorie weit hinaus. Ihr wesentlicher Kern, der in der zweiten Arbeit von Hilbert selbst bewußt formuliert wird, besteht in der Anwendung arithmetischer Methoden auf algebraische Probleme. Den Ausgangspunkt bildet die auf Kronecker und Dedekind zurückgehende Erkenntnis, daß die ganzen rationalen und algebraischen Funktionen irgendwelcher Veränderlichen mit demselben begrifflichen Apparat behandelt werden können wie die ganzen rationalen und algebraischen Zahlen. Indem Hilbert in diesen Abhandlungen den Invariantenkörper als Spezialfall eines Funktionenkörpers betrachtet, steht er am Wendepunkt einer historischen Entwicklung: Vor ihm war das Interesse der Algebraiker vorwiegend auf eine möglichst explizite Aufstellung aller Invarianten gegebener Grundformen gerichtet, nach ihm mehr auf die allgemeinen arithmetischen und algebraischen Eigenschaften von Systemen rationaler und algebraischer Funktionen. Aus diesem Gedankenkreis ist später in natürlicher Weise die allgemeine Theorie der abstrakten Körper, Ringe und Moduln erwachsen.