Zusammenfassung
In einer X n sei ein Skalarfeld p, d. h. ein Skalar p als Funktion des Ortes, gegeben. Zwei Feldwerte p und p + dp in den Punkten x v und x v + dx v lassen sich dann unabhängig von der Wahl der Urvariablen vergleichen. Die Differenz dp ist wiederum ein Skalar und heißt das zum Linienelement dx v gehörige Differential von p.
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Literatur
Eine Verschiebung eines Vektors nach einem benachbarten Punkte einer S n ist zuerst aufgetreten bei Brouwer, 1906, 2, S. 80. Später haben Levi Civita, 1917, 1, und unabhängig von ihm der Verfasser 1918, 1, die pseudoparallele oder geodätische Bewegung den differentialgeometrischen Betrachtungen zugrunde gelegt. Vgl. auch 1921, 2.
Hessenberg gab 1916, 1, den ersten Anstoß zu einer Verallgemeinerung der Grundsätze der Differentialgeometrie. In den Arbeiten von Weyl, 1918, 2,. König, 1919, 2, 1920, 1, Eddington 1921, 1, und dem Verfasser 1922, 2, Nachtrag 1922, 2, entwickelte sich dann die allgemeine Theorie der linearen Übertragungen. Physikalische Anwendungen gaben Weyl, Eddington und Einstein, 1923, 5, 6, geometrische Eisenhart und Veblen, 1922, 7, 8, 9, 10. Die §§ 3–8 dieses Abschnittes enthalten das Hauptsächlichste der Arbeit 1922, 2 in etwas verallgemeinerter Fassung.
Bei Pascal traten schon 1902, 3 und 4, und 1903, 3, Verallgemeinerungen der Christoffelschen Symbole auf, die aber nicht mit linearen Übertragungen zusammenhängen. Nur die in 1903, 5 auftretenden Symbole, die sich in derselben Weise aus einem Affinor zweiten Grades ableiten wie die Christoffelschen Symbole aus einem Tensor, stehen zu einer linearen Übertragung in Beziehung. Bei der Behandlung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung treten bei Pascal 1901, 2 Koeffizienten X hki auf, die die Symmetrieeigenschaft der \(\Gamma _{hk}^i\) einer affinen Übertragung besitzen. Die Ausdrücke [j h k i] bei Pascal auf S. 409, deren Verschwinden die unbeschränkte Integrabilität bedingt, sind für n = m die Bestimmungszahlen der zu dieser Übertragung gehörigen Krümmungsgröße. Weitere Literatur findet sich bei Weitzenböck, 1922, 11, S. 61.
Wir verwenden diese Schreibweise nur vorübergehend bei der Formulierung der Bedingungen.
Vgl. I, Aufg. 1.
In 1922, 2 ist — \({Z_{\dot \lambda }}{_{\dot \mu }^v}\) statt \({{S'}_{\dot \lambda }}{_{\dot \mu }^v}\) verwendet.
Diese Gleichung tritt zuerst auf bei Weyl, 1918, 2.
Die Gleichung ∇ μ g λv = 0 tritt zuerst auf bei Ricci, 1888, 1.
Schouten, 1922, 2, S. 71.
Eddington, 1921, 1, S. 109; 1923, 7, S. 218; Schouten, 1922, 2, S. 73.
2) Weyl, 1918, 2, S. 400.
Weyl, 1921, 3, S. 4; Eisenhart, 1922, 10, S. 234. Vgl. I, Aufg. 4.
Pascal, 1903, 3; Siniqallia, 1903, 4; 1905, 3; Noether, 1918, 6; Weitzenböck, 1923, 1, S. 359; Fubini, 1918, 4; 1920, 3. Vgl. auch S. 62, Fußnote 2.
Die Indizes sind unterdrückt, wie auf S. 63.
Schouten, 1918, 1, S. 46.
Z.B. Weyl, 21, 4, S. 101.
Weyl, 1922, 1, S. 117.
1921, 4, S. 131.
1922, 1. Einen anderen Beweis gab Carian, 1923, 8.
Vgl. I, Aufg. 1, S. 59.
Für Riemannsche Übertragungen ist dies die Identität von Ricci, 1887, 1, S. 16.
Eddington, 1921, 1, S. 110
Schouten, 1922, 2, S. 76.
Schouten, 1922, 2.
Eddington, 1921, 1, S. 110; 1923, 7, S. 216.
Poincaré, 1887, 3, S. 336 für R n ; Volterra, 1889, 3, S. 602 für R n ; Brouwer, 1906, 1 für R n ; Goursat, 1922, 3, S. 105; vgl. S. 99 und 116.
Schouten, 1923, 4, S. 171.
Die Bianchische Identität wurde zum erstenmal veröffentlicht von Padova 1889, 4, der sie durch briefliche Mitteilung erhielt von Ricci. Später wurde die Identität unabhängig bewiesen von Bianchi 1902, 6. Ricci leitete auch 1903, 1, S. 411 für n = 3 die für die allgemeine Relativitätstheorie so wichtige Gleichung (169) ab. Bach bewies 1921, 6 die Gültigkeit der Identität für eine Weylsche Übertragung, und der Verfasser berichtete auf dem Kongreß in Jena 1921 über die Gültigkeit der Identität bei jeder symmetrischen Übertragung (vgl. 1923, 3). Veblen gab 1922, 9 einen Beweis für die affine Übertragung. Weitzenböck leitete 1923, 1, S. 357 die Form (l63d) der Identität ab. Eine zusammenfassende historische Übersicht findet sich bei Schouten-Struik, 1923, 9.
Weyl, 1921, 3, S. 10.
Für die Beziehungen zur Maschkeschen Symbolik vgl. 1918, 1, S. 51.
Das Analogon einer einseitigen Fläche ist also von der Betrachtung ausgeschlossen.
Poincaré, 1887, 3; 1895, 3; Brouwer, 1906, 1, 2; 1919, 4; weitere Literatur bei Weitzenböck, 1923, 1, S. 398.
Ricci, 1897, 3 für m = 1 in V 3 , Schouten, 1918, 1, S. 60 in V 4.
Volterra, 1889, 3, S. 604 für R n ; Brouwer, 1906, 1, für R n ; vgl. S. 88 und 119.
Wirtinger 1922, 4, S. 441, nennt eine (n - 1)-Richtung mit einer inzidenten Richtung ein E n -1-Element. Er arbeitet nicht mit Vektoren, sondern nur mit diesen Elementen, und seine Darstellungsweise ist dementsprechend etwas anders als die hier benutzte. Das Zeichen d in (218) hat dieselbe Bedeutung wie δ ξ bei Wirtinger. Für die ,,Parallelverschiebung“, die der Übertragung von Wirtinger entspricht, ist δυ v = 0, δωλ = 0, und aus (219) folgt dann die Gleichung (10) auf S. 441 bei Wirtinger.
1869, 2, vgl. auch Ricci und Levi Civita, 1901, 1.
Eine ausführliche Übersicht der verschiedenen Reduktionssätze findet sich bei Weitzenböck, 1923, 1.
1912, 1 und 3.
1923, 1, S. 351-
Weitzenböck, 1923, 1, S. 354.
Weitzenböck, 1923, 1, S. 357.
1918, 6, Vgl. Weitzenböck, 1923, 1, S. 359.
1923, 1, S. 320.
1919, 5, S. 114; 1921, 4, S. 114; vgl; auch v. d.Woude, 1923, 15 für V n .
1893, 1, S. 648; 1918, 8, S. 249, 501.
Aus einer Korrespondenz mit Herrn L. Berwald in Prag.
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Schouten, J.A. (1924). Der analytische Teil des Kalküls. In: Der Ricci-Kalkül. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 10. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-51838-6_3
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