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Der algebraische Teil des Kalküls

  • J. A. Schouten
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 10)

Zusammenfassung

Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit X n ist der Inbegriff der Werte, welche n Variablen, die Ur var iablen x v , v = a x ,. .., a n 1) annehmen können. Ein bestimmtes Wertsystem heiße Punkt. Wo nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt ist, betrachten wir im folgenden nur reelle Werte der Urvariablen, und es enthält die X n demnach n Punkte.

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Literatur

  1. 1).
    Schoute, 1902, 5, S. 34.Google Scholar
  2. 2).
    Auch „affine Gruppe mit festem Punkt“ genannt.Google Scholar
  3. 1).
    Schouten, 1923, 4, S. 164.Google Scholar
  4. 2).
    Die \(\mathop {{e_\lambda }}\limits^v \) lassen sich wie die \({\mathop e\limits_\lambda ^v}\) auffassen als eigentliche Vektoren, die für jede Wahl des Koordinatensystems einen anderen Wert haben (vgl. S. 13 und S. 57)Google Scholar
  5. 1).
    Schouten-Struik, 1922, 6.Google Scholar
  6. 1.
    In der Literatur herrscht hier große Verwirrung, was nur daran liegt, daß die zugrunde gelegte Gruppe nicht beachtet ist. Haben doch diese Unterscheidungen nur bei der äquivoluminären Gruppe Bedeutung.Google Scholar
  7. 1).
    Graßmann, 1844, 1, S. 52.Google Scholar
  8. 1).
    Graßmann, 1862, 1, S. 56.Google Scholar
  9. 2).
    Graßmann, 1862, 1, S. 61.Google Scholar
  10. 1).
    Vgl. z. B. Weitzenböck, 1923, 1, S. 69 und 83.Google Scholar
  11. 2).
    Es wäre hier vollkommen genügend, nur die Reihenfolge gleichartiger Indizes zum Ausdruck zu bringen, was zur einfacheren, oft verwendeten Schreibweise \(u_{\chi \,v}^{\lambda \,\mu }\) führen würde. Später, nach Einführung einer Maßbestimmung, könnte dann aber die, nicht von Ricci herrührende, jetzt aber allgemein übliche Methode des Herauf- und Herunterziehens der Indizes (vgl. S. 39) nicht verwendet werden, ohne daß Zweideutigkeit entstände.Google Scholar
  12. 2).
    Daß hierdurch niemals Zweideutigkeit entstehen kann, wird auf S. 40 gezeigt.Google Scholar
  13. 3).
    Die anderen Komitanten lassen sich unterscheiden in Kovarianten, Kontravarianten und gemischte Komitanten.Google Scholar
  14. 4).
    Z. B. Weitzenböck, 1923, 1, S. 93.Google Scholar
  15. 1).
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  16. 1).
    Finsler, 1918, 5, S. 39.Google Scholar
  17. 2).
    Vgl. Weyl, 1921, 4, S. 125 u. f.Google Scholar
  18. 3).
    Helmholtz, 1868, 1; Lie, 1890, 1. Vgl. Weyl, 1921, 12, S. 26.Google Scholar
  19. 4).
    Finsler, 1918, 5, S. 40.Google Scholar
  20. 1).
    Das Wort Indikatrix hat hier einen anderen Sinn als in der Topologie, was dort Indikatrix heißt, wird hier mit „Schraubsinn“ bezeichnet.Google Scholar
  21. 1).
    Schoute, 1902, 5, S. 49.Google Scholar
  22. 1).
    Lipka, 1922, 21, S. 243-Google Scholar
  23. 2).
    Vgl. Schoute, 1902, 5, S. 77; Segre, 1921, 5, S. 800.Google Scholar
  24. 1).
    Die Zerlegung eines Bivektors ohne Verwendung eines Fundamentaltensors findet sich z.B. bei Carian, 1922, 20, S. 53.Google Scholar
  25. 2).
    Literaturangaben bei Pascal, 1910, S. 64, 65, 129.Google Scholar
  26. 3).
    Graßmann, 1844, 1, S. 206; 1862, 1, S. 56; für p = 2; Rothe, 1912, 1. S. 1039.Google Scholar
  27. 1).
    Sinigallia, 1905, 3, S. 165, auch für den Fall, daß die Größen nicht denselben Grad haben.Google Scholar
  28. 1).
    Eine andere Form dieses Beweises findet sich bei Weitzenböck, 1923, 1, S. 84. Andere notwendige und hinreichende Bedingungen, die aber Hilfsgrößen enthalten, finden sich in den Anmerkungen und Nachträgen zu Graßmann, 1862, 1, S. 409 u. 511. Vgl. auch Weitzenböck, 1923, 1, S. 114 u. f.Google Scholar
  29. 1).
    Sinigallia, 1905, 3, S. 171.Google Scholar
  30. 1).
    Mit einer Maßbestimmung hat dies noch nichts zu tun. Der Ausdruck findet seinen Grund in der Tatsache, daß der Übergang von (153) zu (156) gleichbedeutend ist mit der Verabredung, fortan alle kovarianten Vektoren mit einem τ mal größeren Maßstab zu messen. Würde man in derselben Weise das kontra variante Maß ändern, so würden, außer in dem trivialen Falle eines in der X n konstanten Proportionalitätsfaktors, die dx v aufhören, exakte Differentiale zu sein. Obwohl in der Tat ein allgemeinerer Ansatz auf Grundlage nicht exakter dx v möglich und für eine Vertiefung der Grundlagen der Differentialgeometrie vielleicht vielversprechend ist, werden wir hier diese Möglichkeit außer acht lassen.Google Scholar
  31. 1).
    Aus einer Korrespondenz mit Herrn A. Friedmann in Petrograd.Google Scholar

Copyright information

© Julius Springer in Berlin 1924

Authors and Affiliations

  • J. A. Schouten
    • 1
  1. 1.Technischen Hochschule Delft in HollandHolland

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