Zusammenfassung
Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit X n ist der Inbegriff der Werte, welche n Variablen, die Ur var iablen x v , v = a x ,. .., a n 1) annehmen können. Ein bestimmtes Wertsystem heiße Punkt. Wo nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt ist, betrachten wir im folgenden nur reelle Werte der Urvariablen, und es enthält die X n demnach ∞ n Punkte.
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Literatur
Schoute, 1902, 5, S. 34.
Auch „affine Gruppe mit festem Punkt“ genannt.
Schouten, 1923, 4, S. 164.
Die \(\mathop {{e_\lambda }}\limits^v \) lassen sich wie die \({\mathop e\limits_\lambda ^v}\) auffassen als eigentliche Vektoren, die für jede Wahl des Koordinatensystems einen anderen Wert haben (vgl. S. 13 und S. 57)
Schouten-Struik, 1922, 6.
In der Literatur herrscht hier große Verwirrung, was nur daran liegt, daß die zugrunde gelegte Gruppe nicht beachtet ist. Haben doch diese Unterscheidungen nur bei der äquivoluminären Gruppe Bedeutung.
Graßmann, 1844, 1, S. 52.
Graßmann, 1862, 1, S. 56.
Graßmann, 1862, 1, S. 61.
Vgl. z. B. Weitzenböck, 1923, 1, S. 69 und 83.
Es wäre hier vollkommen genügend, nur die Reihenfolge gleichartiger Indizes zum Ausdruck zu bringen, was zur einfacheren, oft verwendeten Schreibweise \(u_{\chi \,v}^{\lambda \,\mu }\) führen würde. Später, nach Einführung einer Maßbestimmung, könnte dann aber die, nicht von Ricci herrührende, jetzt aber allgemein übliche Methode des Herauf- und Herunterziehens der Indizes (vgl. S. 39) nicht verwendet werden, ohne daß Zweideutigkeit entstände.
Daß hierdurch niemals Zweideutigkeit entstehen kann, wird auf S. 40 gezeigt.
Die anderen Komitanten lassen sich unterscheiden in Kovarianten, Kontravarianten und gemischte Komitanten.
Z. B. Weitzenböck, 1923, 1, S. 93.
Weitzenböck, 1923, 1, S. 79.
Finsler, 1918, 5, S. 39.
Vgl. Weyl, 1921, 4, S. 125 u. f.
Helmholtz, 1868, 1; Lie, 1890, 1. Vgl. Weyl, 1921, 12, S. 26.
Finsler, 1918, 5, S. 40.
Das Wort Indikatrix hat hier einen anderen Sinn als in der Topologie, was dort Indikatrix heißt, wird hier mit „Schraubsinn“ bezeichnet.
Schoute, 1902, 5, S. 49.
Lipka, 1922, 21, S. 243-
Vgl. Schoute, 1902, 5, S. 77; Segre, 1921, 5, S. 800.
Die Zerlegung eines Bivektors ohne Verwendung eines Fundamentaltensors findet sich z.B. bei Carian, 1922, 20, S. 53.
Literaturangaben bei Pascal, 1910, S. 64, 65, 129.
Graßmann, 1844, 1, S. 206; 1862, 1, S. 56; für p = 2; Rothe, 1912, 1. S. 1039.
Sinigallia, 1905, 3, S. 165, auch für den Fall, daß die Größen nicht denselben Grad haben.
Eine andere Form dieses Beweises findet sich bei Weitzenböck, 1923, 1, S. 84. Andere notwendige und hinreichende Bedingungen, die aber Hilfsgrößen enthalten, finden sich in den Anmerkungen und Nachträgen zu Graßmann, 1862, 1, S. 409 u. 511. Vgl. auch Weitzenböck, 1923, 1, S. 114 u. f.
Sinigallia, 1905, 3, S. 171.
Mit einer Maßbestimmung hat dies noch nichts zu tun. Der Ausdruck findet seinen Grund in der Tatsache, daß der Übergang von (153) zu (156) gleichbedeutend ist mit der Verabredung, fortan alle kovarianten Vektoren mit einem τ mal größeren Maßstab zu messen. Würde man in derselben Weise das kontra variante Maß ändern, so würden, außer in dem trivialen Falle eines in der X n konstanten Proportionalitätsfaktors, die dx v aufhören, exakte Differentiale zu sein. Obwohl in der Tat ein allgemeinerer Ansatz auf Grundlage nicht exakter dx v möglich und für eine Vertiefung der Grundlagen der Differentialgeometrie vielleicht vielversprechend ist, werden wir hier diese Möglichkeit außer acht lassen.
Aus einer Korrespondenz mit Herrn A. Friedmann in Petrograd.
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Schouten, J.A. (1924). Der algebraische Teil des Kalküls. In: Der Ricci-Kalkül. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 10. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-51838-6_2
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