Zusammenfassung
Um die Planung der Maschinenbelegung untersuchen zu können, muß zunächst ein sinnvolles und möglichst allgemeines Modell vorliegen, mit dessen Hilfe eine Untersuchung möglich ist. Eine Möglichkeit stellt das Modell des Job Shop Scheduling dar, aus dessen Lösung sich das Job Shop Scheduling Problem ergibt, das hier auch als “Job Shop Scheduling” oder einfach “Job Shop” abgekürzt wird. Diese Problemklasse wird hier zunächst erläutert, wobei die vorgenommenen Einschränkungen herausgearbeitet werden.
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Literatur
Der Start- und der Endezeitpunkt stammen aus dem reellen Zahlenbereich. Man beachte, daß die Forderung t s k ≤ t c k impliziert, daß der Zeitraum Z k eine positive Dauer oder die Dauer 0 aufweisen kann. In der Literatur wird meist der Einfachkeit halber ausdrücklich oder stillschweigend angenommen, daß Zeiträume eine positive Dauer haben müssen. In der obigen Beschreibung ist die Positivität der Bearbeitungszeit nicht zwingend. Sollte sie im Laufe der Arbeit erforderlich sein, so wird im Einzelfall darauf hingewiesen.
Wenn die Dauer p k des Zeitraumes für jede einzelne Operation vorgegeben ist;
dann ist es ausreichend, den Operationen einen Startzeitpunkt t s k zuzuordnen. Der Endezeitpunkt errechnet sich aus: te k = ts k + pk.
Wenn man eine transitive Relation für jeweils zwei Zeiträume definiert, kann man davon sprechen, daß mit der Zuordnung von Zeiträumen gleichzeitig auch eine Reihenfolge der Operationen festgelegt wird.
Vgl. Kenneth R. Baker: Introduction to Sequencing and Scheduling. New York 1974. pp. 2–3.
Falls sich zwei Zeiträume berühren, also der Startzeitpunkt des einen auf den Endezeitpunkt des anderen Zeitraumes talk, so überlappen sich die beiden Zeiträume nach dieser Definition nicht, obwohl ein Zeitpunkt existiert, der in beiden Zeiträumen liegt. Die Schnittmenge ist nicht leer. Falls aber ein Zeitraum die Dauer 0 aufweist und innerhalb des anderen Zeitraumes liegt: t s 1 < t s 2 = t e 2 < t e 1 so existiert ebenfalls genau ein gemeinsamer Zeitpunkt. In diesem Fall liegt nach dieser Definition eine Überlappung vor. Zwei Zeiträume, die beide die Dauer 0 haben, können sich nicht überlappen. Diese Sonderfalle werden bei den hier angegebenen Definitionen berücksichtigt. Für die programmtechnische Umsetzung im Sinne der strukturierten Programmierung ist es sinnvoll, Unterprogramme z.B. zur Überprüfung auf Überlappung und Maximalüberdeckung zu schaffen, die auch bei Grenzfallen definierte und sinnvolle Ergebnisse liefern. Dadurch erspart man sich häufige Überprüfungen auf gültige Wertebereiche und erweitert das Anwendungsspektrum.
Die Dauer der Prozeßzeiten werden in diesen Definitionen nicht verwendet. Diese wird als Differenz zwischen Ende- und Startzeitpunkt der Zeiträume auch nicht benötigt.
Der Fall einer durch m > 1 beschränkten Maximalüberdeckung beschreibt beispielsweise die Situation paralleler Maschinen, die m Operationen gleichzeitig ausführen können.
Kenneth R. Baker: Introduction to Sequencing and Scheduling. New York 1974. p. 136.
Es wird davon ausgegangen, daß sich der Zustand der Maschine und des Auftrags bzw. des zu bearbeitenden Materials während einer solchen Unterbrechung nicht verändert. Die Abarbeitung der Operation kann dann nach der Unterbrechung fortgesetzt werden, wobei die gesamte Prozeßzeit sich nur um die Dauer der Unterbrechung verlängert und keine zusätzlichen durch die Unterbrechung bedingten Rüst- oder Anfahrzeiten auftreten.
Vgl. Rainer Leisten: Die Einbeziehung beschränkter Zwischenlager in die Auftragsreihenfolgeplanung bei Reihenfertigung. Düsseldorf 1985. S. 24f, 51ff.
Vgl. Rainer Leisten: Die Einbeziehung beschrankter Zwischenlager in die Auftragsreihenfolgeplanung bei Reihenfertigung. Düsseldorf 1985. S. 145ff.
Vgl. Jacek Blazewicz, Klaus Ecker, Günter Schmidt and Jan Wegiarz: Scheduling in Computer and Manufacturing Systems. Berlin Heidelberg New York et al. 1993. pp. 179–182.
In dieser Arbeit werden nur Zielfunktionen betrachtet, in die lediglich Zeitgrößen als Parameter eingehen. Andere Zielfunktionen, die beispielsweise Kostengrößen bewerten, sind ebenfalls denkbar.
Eine andere Möglichkeit der graphischen Darstellung ist das Konzept der disjunktiven Graphen. Vgl. hierzu Rainer Leisten: Die Einbeziehung beschränkter Zwischenlager in die Auftragsreihenfolgeplanung bei Reihenfertigung. Düsseldorf 1985. S. 72–95
A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. p. 8
Wolfgang Domschke, Armin Scholl und Stefan Voß: Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. Berlin Heidelberg New York 1993. S. 365ff.
Johann Huring, Bernd Jurisch and Monika Thole: Tabu Search for the Job-Shop Scheduling Problem with Multi-Purpose Machines. In: OR Spektrum. Vol. 15. 1994. pp. 205–215.
A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. p. 164.
A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Leiden 1976. p. 16
Kenneth R. Baker: Introduction to Sequencing and Scheduling. New York 1974. p. 13
Simon French: Sequencing and Scheduling. Chichester et al. 1982. pp. 13–14.
Kenneth R. Baker: Introduction to Sequencing and Scheduling. New York 1974. pp. 12–38.
A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. pp. 16–28.
Simon French: Sequencing and Scheduling. An Introduction to the Mathematics of the Job-Shop. Chichester et al. 1982. pp. 9–14.
Ein ausführlicher Beweis findet sich bei A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. pp. 20–21.
A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. pp. 21–22.
Kenneth R. Baker: Introduction to Sequencing and Scheduling. New York 1974. p. 12
Jacek Blazewicz, Klaus Ecker, Günter Schmidt and Jan Weglarz: Scheduling in Computer and Manufacturing Systems. Berlin Heidelberg New York et al. 1993. p. 82.
A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. pp. 20–21. Rinnooy Kan setzt allgemein t 0 = 0, deshalb unterscheiden sich die Formeln für Ij. und Ū geringfügig zu den hier angegebenen. Der Äquivalenz tut dies keinen Abbruch.
Norbert Kräh: Grundlagen zur technologischen Projektierung und Produktionsprozessteuerung flexibler Fkertigungssysteme. Teil 2: Anwendung von Modellen der computergesteuerten Durchlaufplanung. Schmalkalden 1987. S. 15. Die Größe heißt dort Objektauslastungsgrad. Die Symbolik wurde der Verwendung in dieser Arbeit angepaßt.
Ralf Bruns und Hans-Jürgen Appelrath: Ein universelles Modell für Ablaufplanungsprobleme. Aus: Wirtschaftsinformatik 6 (1991). S. 516–525. S. 522.
Vgl. A. H. G. Rinnooy Kan: Machine Scheduling Problems. Classification, Complexity and Computations. Leiden 1976. p. 17
Wolfgang Domschke, Armin Scholl und Stefan Voß: Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. Berlin Heidelberg New York 1993. S. 369.
Falls zwei oder mehr Operationen einer Maschine zum selben Auftrag gehören, so ist die Anzahl der Permutationen geringer, da die Reihenfolge innerhalb der Operationen eines Auftrags vorgegeben ist.
Der angegebene Algorithmus erscheint zunächst umständlich zu sein, da auch eine einfache Vorschrift genügt: “Solange eine lokale Linksverschiebung möglich ist, führe sie durch”. Für die Umsetzung in einer Programmiersprache ist der oben angegebene Algorithmus besser geeignet, weil durch die Sortierung eine wiederholte Berechnung des Startzeitpunkts t min für eine Operation vermieden werden kann, während bei der Kurzform nach jeder durchgeführten Linksverschiebung alle Operationen erneut überprüft werden müssen.
Vgl. Simon French: Sequencing and Scheduling. An Introduction to the Mathematics of the Job-Shop. Chichester et al. 1982. p. 27.
Wolfgang Domschke, Annin Scholl und Stefan Voß: Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. Berlin Heidelberg New York 1993. S. 369.
Vgl. Kenneth R. Baker: Introduction to Sequencing and Scheduling. New York 1974. p. 186.
Stephan Zelewski: Komplexitätstheorie als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research. Braunschweig Wiesbaden 1989. S. 19ff.
Stephan Zelewski: Komplexitätstheorie als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research. Braunschweig Wiesbaden 1989. S. 42ff.
W. R. Pulleyblank: Polyhedral Combinatorics. In: G. L. Nemhauser and A. H. G. Rinnooy Kan (Eds.): Handbooks in Operations Research and Management Science: Optimization. Vol. 1. 1989. pp. 371–441. p. 438.
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Stephan Zelewski: Komplexitätstheorie als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research. Braunschweig 1989. S. 59f.
W. R. Pulleyblank: Polyhedral Combinatorics. In: G. L. Nemhauser and A. H. G. Rinnooy Kan (Eds.): Handbooks in Operations Research and Management Science: Optimization. Vol. 1. 1989. pp. 371–441. p. 438.
C. Sriskandarajah: Production Scheduling. Complexity and Approximate Algorithms. Montréal 1989. p. 5.
Michael R. Garey and David S. Johnson: Computers and Intractibility. A Guide to the Theory of NP Completeness. New York 1979. p. 8. Übersetzung des Autors. Die Werte der Tabelle gelten auch heute.
Um die Reduzierbarkeit eines Problems auf ein anderes im Einzelfall nachzuweisen, bedarf es eines umfangreichen mathematischen Instrumentariums, dessen Darstellung den Rahmen dieses Kapitels sprengen müßte. Es sei verwiesen auf: Michael R. Garey and David S. Johnson: Computers and Intractibility. A Guide to the Theory of NP Completeness. New York 1979
Chapter 3: Proving NP- Completeness Results, p. 45. Christos H. Papadimitriou and Kenneth Steiglitz: Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Eaglewood Cliffs 1982. pp. 358–360
C. Sriskandarajah: Production Scheduling. Complexity and Approximate Algorithms. Montréal 1989. p. 39.
Michael R. Garey and David S. Johnson: Computers and Intractibility. A Guide to the Theory of NP Completeness. New York 1979. pp. 38–40
Christos H. Papadimitriou and Kenneth Steiglitz: Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Eaglewood Cliffs 1982. p.. 353–356.
Simon French: Sequencing and Scheduling. An Introduction to the Mathematics of the Job-Shop. Chichester et al. 1982. p. 148
Stephan Zelewski: Komplexitätstheorie als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research. Braunschweig Wiesbaden 1989. S. 63f, 67.
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Jacek Blazewicz, Klaus Ecker, Günter Schmidt and Jan Weglarz: Scheduling in Computer and Manufacturing Systems. Berlin Heidelberg New York et al. 1993. p. 173.
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Georgi, G. (1995). Das Modell. In: Job Shop Scheduling in der Produktion. Wirtschaftswissenschaftliche Beiträge, vol 111. Physica-Verlag HD. https://doi.org/10.1007/978-3-642-51530-9_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-51530-9_2
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