Zusammenfassung
Bei der Betrachtung der Schwingungen elastischer Körper soll angenommen werden, daß die Körper homogen und isotrop sind und dem Hookeschen Gesetze folgen. Die im vorigen Kapitel für ein System von Massenpunkten aufgestellten Differentialgleichungen der Bewegung finden auch hier Anwendung.
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Literatur
Die vollständigste Diskussion der Schwingungsprobleme elastischer Systeme findet man in dem bekannten Werk von Lord Rayleigh: Theory of Sound. Siehe auch H. Lamb: The Dynamical Theory of Sound. Love, A. E. H.: Mathematical Theory of Elasticity, 4. Aufl. (1927); Handb. Physik 6 (1928). Barré de Saint-Venant: Théorie de l’élasticité des corps solides. Note finale du par. 61. Paris 1883.
Eine vollständige Lösung des Problems der longitudinalen Schwingungen eines zylindrischen Stabes von kreisförmigem Querschnitt, welche auch die seitlichen Verschiebungen berücksichtigt, stammt von L. Pochhammer: Jahrb. Math. 81, 324 (1876).
Später (S. 315) wird gezeigt werden, daß a die Geschwindigkeit der Wellenfortpflanzung längs des Stabes ist.
Verschiebungen des Stabes als starrer Körper werden hier nicht betrachtet. Ein Beispiel, bei dem eine derartige Verschiebung berücksichtigt werden muí;, wird auf S. 229 besprochen.
Siehe Gl. (24) S. 24.
Eine eingehendere Erörterung dieses Problems findet sich S. 237.
Das konstante Gewicht W, das der gleichförmigen Dehnung des Stabes in seiner Ruhelage das Gleichgewicht hält, beeinflußt die Randbedingung nicht.
Siehe Gl. (24) S. 24.
Bei dieser Überlegung wurde die Wirkung der Dämpfung nicht berücksichtigt.
Siehe die Arbeit des Verfassers in Bull. Polytechn. Inst. St. Petersburg 1905 und seine Arbeit, Über die erzwungenen Schwingungen von prismatischen Stäben. Z. Math. Phys. 59 (1911).
Eine vollständigere Theorie findet sich in der früher (S. 221) genannten Arbeit von L. Pochhammer.
Eine graphische Methode zur Bestimmung der Eigenfrequenzen von Torsionsschwingungen einer Welle mit Scheiben wurde von F. M. Lewis entwickelt, siehe seine Arbeiten: Torsional Vibrations of Irregular Shafts. J. Am. Soc. Naval Engs. Nov. 1919, 857 und Critical Speeds of Torsional Vibration. J. Soc. Automotive Engs., Nov. 1920, 413.
Dämpfung wird bei unseren Berechnungen nicht berücksichtigt.
Die entsprechende Differentialgleichung mit Berücksichtigung der Dämpfung wurde von H. Holzer untersucht. Z. ang. Math. Mech. 8, 272 (1928).
Siehe Lord Rayleigh: Theory of Sound, § 186.
Dieses Moment ist positiv, wenn die Drehung im Sinne des Uhrzeigers erfolgt.
Siehe die Abhandlung des Verfassers in Phil. Mag. (8er. 6) 41, 744; 43, 125.
Siehe E. R. Darnley: Phil. Mag. 41, 81 (1921). Siehe auch
D. M. Smith: Engg. 120, 808 (1925).
Solche Tabellen finden sich in der S. 259 genannten Arbeit von E. R. Darnley. Eine andere Methode auf nomographischer Grundlage wird in der S. 259 genannten Arbeit von D.M. Smith gegeben; dort wird auch die Anwendung dieses Problems auf die Schwingungen von Kondensatorröhren gezeigt.
Siehe Festigkeitslehre S. 124.
Dieses Problem ist von praktischer Bedeutung für die Untersuchung von Brückenschwingungen. Seine erste Lösung stammt von A. N. Kriloff, Mitglied der Akademie der Wissenschaften in Petersburg; siehe Math. Ann. 61 (1905). Siehe auch die Arbeit des Verfassers in Bull. Polytechn. Inst. Kiew 1908 [deutsche Übersetzung in Z. Math. Phys. 59 (1911)]. Prof. C. E. Inglis kam in den Proc. Inst. Civ. Engs. 218, London 1924, zu gleichen Resultaten. Siehe auch die Arbeit von H. H. Jeff cott: Phil. Mag. (Ser. 7), 8, 66 (1929). In dieser Arbeit wird die Trägheit der bewegten Last berücksichtigt. R. I. C. Ho wland: Transverse Oscillations in Girders. Inst. Civ. Engs. London 1924.
Siehe des Verfassers Festigkeitslehre, S. 151. Durch Verwendung des bekannten Ausdruckes für die statische Durchbiegungskurve erhält man einen geschlossenen Ausdruck für die durch die Reihe (r) dargestellte Funktion.
Siehe die obengenannte Arbeit des Verfassers.
Siehe die Arbeit des Veifassers in Phil. Mag. 43, 1018 (1922). Siehe auch die Arbeit von C. E. Inglis: Proc. Roy. Soc. (Serie A), 118, 60 (1928).
Die Geschichte dieses Problems ist im bekannten Werk von Clebsch, Theorie der Elastizität fester Körper, eingehend erörtert. Siehe die Fußnote S. 597 der von St. Venant besorgten französischen Bearbeitung. Paris 1883.
Diese Gleichung wurde von Willis aufgestellt: Appendix to the Report of the Commissioners… to inquire into the Application of Iron to Railway Structures. London 1849.
Die exakte Lösung der Gl. (150) gab G. G. Stokes an, siehe Math. Phys. Papers 2, 179. Dasselbe Problem wurde auch von H. Zimmermann erörtert, siehe Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last. Berlin 1896. Es ist zu bemerken, daß sich die Integration der Gl. (150) auch numerisch mit Hilfe der oben angegebenen Methode ausführen läßt. Auf diesem Wege erhielt Prof. N. P. Petroff Lösungen für einen Träger mit elastischen Auflagern und für durchlaufende Träger, siehe Mem. Russ. Imp. Techn. Soc. 1903.
Einige experimentelle Daten über Schwingungen von Brücken finden sich in folgenden Arbeiten:
Bühler, A.: Stoßwirkungen bei eisernen Eisenbahnbrücken. Druckschrift zum Intern. Kongreß für Brückenbau, Zürich 1926 und
Hort, W.: Stoßbeanspruchungen und Schwingungen, Die Bautechnik, Berlin 1928.
Bernhard, R.: Z. V. d. I. 73, 1675 (1929). Rep. Bridge Stress Committee, Dept. Scientific Industr. Res., London 1928.
Streletzky, N.: Ergebnisse der experimentellen Brückenunteruchungen. Berlin 1928.
Die Brücke wird hier als einfacher Träger mit konstantem Querschnitt betrachtet. Schwingungen von Fachwerkträgern wurden untersucht von H. Reiss-ner: Z. Baut. 53, 135 (1903) und
E. Pohlhausen: Z. ang. Math. Mech. 1, 28 (1921).
Die numerischen Daten sind der früher erwähnten (siehe S. 266) Arbeit von C. E. Inglis entnommen.
Siehe Bridge Sub-Committee Rep. 1925. Calcutta: Gouvernement of India Central Publication Branch. Techn. Paper 1926, Nr. 247.
Momente, welche Durchbiegungen ergeben, die nach unten konkav sind, werden positiv genommen.
Diese Gleichung und die folgenden Anwendungen derselben bei der Untersuchung erzwungener Schwingungen stammen von J. N. Goodier.
Siehe die Arbeit von J. N. Goodier.
Inglis, C.E.: Proc. Inst. Civ. Engg. 218, 239. London 1924.
Es soll angenommen werden, daß die Stützpunkte während der Schwingung unbeweglich bleiben.
Es werden hier nur Durchbiegungen betrachtet, die so klein sind, daß jede Änderung der Axialkraft vernachlässigt werden darf.
Siehe die Arbeit des Verfassers: Statical and Dynamical Stresses in Rails, Intern. Congress for Applied Mechanics, Proceedings, S. 407. Zürich 1926.
Siehe Walther Ritz: Gesammelte Werke, S. 265. Paris 1911.
Siehe W. Ritz: 1.c. S. 288.
Kirchhoff, G.: Monatsbl. Berlin. Bez.-V. d. I. 1879, 815 oder Ges. Abh., S. 339. Siehe auch Todhunter u. Pearson: A History of the Theory of Elasticity 2, Teil 2, S. 92.
Kirchhoff: 1.c. S. 296.
Siehe Dorothy Wrinch: Proc. Roy. Soc. 101, 493. London 1922.
Ono, Akimasa: J. Soc. Mech. Engg. 27, 467. Tokyo 1924.
Ono, Akimasa: J. Soc. Mech. Engg. 28, 429 (1925).
Nicholson, J. W.: Proc. Roy. Soc. 93, 506. London 1917.
Schwerin, E.: Über Transversalschwingungen von Stäben veränderlichen Querschnitts. Z. techn. Phys. 8, 264 (1927).
Siehe W. Hort: Z. V. d. I. 70, 1420 (1926).
Die Tabelle ist der S. 298 genannten Arbeit von Akimasa Ono entnommen.
Hort, W.: Proceedings of the First International Congress for Applied Mechanics, S. 282. Delft 1925. Die oben angegebenen numerischen Ergebnisse erhält man unter der Annahme, daß die Schwingungsart eines Stabes mit veränderlichem Querschnitt die gleiche wie die eines prismatischen Stabes ist.
Wenn die Werte von m, m’, n und n’ nicht größer als 0,5 sind, so ist die Formel (180) nach Hort korrekt mit einer Fehlergrenze von 2%. Um eine Vorstellung von dem Fehler zu bekommen, der entstünde, wenn m und n gleich eins wären, hat man die exakten Lösungen für die Eigenschwingungen einer konischen und einer keilförmigen Schaufel mit den durch obige Methode gefundenen Werten verglichen. Es ergab sich, daß der Fehler in diesen extremen Fällen für die konische und die keilförmige Schaufel 17% bzw. 18,5% beträgt.
Siehe Stodolas Werk, S. 949. Vgl. auch W. Hort: Z. V. d. I. 70, 1422 (1926) und
E. Schwerin: Über die Eigenfrequenzen der Schaufelgruppen von Dampfturbinen. Z. techn. Phys. 8, 312 (1927).
Die Trägheit des Wassers wird bei dieser Berechnung nicht berücksichtigt. Der Einfluß der Wasserträgheit wurde von J. Lockwood Taylor untersucht (Spring Meeting. Inst. Naval Arch. 1930). Siehe auch Phil. Mag. Jan. 1930.
Siehe das Werk des Verfassers: Elastizitätslehre, 2. Petersburg 1916. Siehe auch N. Akimoff: Trans. Soc. Nav. Arch. 26. New York 1918.
Eine weitere Entwicklung des Problems der Schiffsquerschwingungen findet man in folgenden Arbeiten: Moullin, E. B., u. A. D. Browne: Proc. Cambridge philos. Soc.24,400(1928). Moullin, E. B.: Proc.Cambridge philos. Soc. 24, 531(1928).
Die Literatur dieses Gegenstandes ist in einem Artikel von Th. Pöschl im Handbuch der Physik, Bd. 6 angegeben.
Diese Methode wurde von H. Cox, Trans. Cambridge philos. Soc. 9, 73 (1850) entwickelt. Siehe auch Todhunter u. Pearson: History 1, 895.
Venant, St.: 1.c. S. 271, letzte Fußnote von §61, S. 490.
Siehe die Arbeit des Verfassers in Z. Math. Phys. 62, 108 (1913).
Hertz, H.: J.Math. (Grelle) 92 (1881). Love, A. E.H.: Math. Theory of Elasticity, S. 198 (1927).
Es wird angenommen, daß außer P keine Kräfte auf die Kugel wirken.
Siehe seine Lectures on Natural Philosophy 1, 1244. DieGeschichte des Längsstoßproblems wird eingehend besprochen im Buch von Clebsch: 1. c. S. 271; siehe letzte Fußnote von § 60.
Es wird angenommen, daß die Berührungsflächen zwei paralleleglatte Ebenen sind.
Na vier: Rapport et Mémoire sur les Ponts Suspendus 1823.
Venant, St.: 1.c. S. 271.
Boussinesq, J.: Applications des Potentiels.
Siehe Love: Theory of Elasticity., 4. Aufl., S. 431 (1927).
Siehe A. E. H. Love, Elasticity, S. 435. Eine eingehende Untersuchung über den longitudinalen Stoß verdankt man L. Donneil: Trans. Am. Soc. Mech. Eng. 1930.
Experimente mit massiven Stahlstäben wurden von W. Voigt angestellt: Wied. Ann. 19, 43 (1883).
Ramsauer, C.: Ann. Physik 30 (1909).
Sears, I.E.: Trans. Cambridge philos. Soc. 21, 49 (1908). Weitere Experimente beschreibt J. E. P. Wagstaf f: Royal Soc. Proc. (Ser. A) 105, 544 (1924).
Wenn überdies noch eine Belastung vorhanden ist, die man sich gleichförmig längs der Mittellinie des Rings verteilt denken kann, so muß man nur in der obigen Berechnung [Gl. (b)] Fγ durch Fγ + q ersetzen, wobei q das Zusatzgewicht pro Längeneinheit der Ringmittellinie bedeutet.
Love, A. E.H.: Elasticity, S. 454.
Love, A. E.H.: Elasticity, S. 453, 451.
Diese Gleichung wurde von J. Boussinesq aufgestellt: Comptes Rendus 97, 843 (1883).
Das der rein radialen Schwingung entsprechende konstante Glied der Reihe ist weggelassen.
Die Integrationskonstante, die eine Rotation des Rings als starrer Körper in seiner Ebene darstellt, ist im Ausdruck (k) weggelassen.
Love, A. E.H.: Mathematical Theory of Elasticity, 4. Aufl., S. 453. Cambridge 1927.
Eine interessante experimentelle Untersuchung eines Rings, der einen Zahnradkranz darstellt, stammt von R.E.Peterson: Trans. Am. Soc. Mech. Engs., Appl. Mech. Div. 1929.
Dieses Problem wurde von H. Lamb erörtert. Math. Soc. Proc. 19, 365 London 1888.
Siehe J. P. Den Hartog: The Lowest Natural Frequency of Circular Arcs. Phil. Mag. 5, 400 (1928); ebenso Vibration of Frames of Electrical Machines. Trans. Am. Soc. Mech. Eng. Appl. Mec. Div. 1928.
Eine eingehendere Untersuchung dieses Problems findet sich im Buche von Rayleigh: 1. c. S. 143. Siehe auch Lamé: Leçons sur l’élasticité. Paris 1852.
Das Schwingungsproblem einer Kreismembran wurde ausführlich von Lord Rayleigh: I.e. S. 143, erörtert.
Die Tabelle wurde von Bourg et berechnet: Ann. l’école norm. 3 (1866).
Die Tabelle ist dem Rayleighschen Buche entnommen, 1. c. S. 143.
Mathieu: J. Math. (Liouville) 13 (1868).
Die Durchbiegungen werden der Plattenstärke gegenüber als klein vorausgesetzt.
Es wird angenommen, daß die Mittelebene nicht gedehnt wird.
Voigt: Gött. Nachr. 1893, 225.
Ritz, W.: Ann. Physik 28, 737 (1909). Siehe auch
Gesammelte Werke, S. 265 (1911). Siehe ferner H. Grauers: Ingeniörs Vetenskaps Akademien, Stockholm 1929.
Siehe die vorangehende Fußnote.
Kirchhoff: J. Math. (Crelle) 40 (1850); Ges. Abh. von G. Kirchhoff, S. 237. Leipzig 1882; Vorlesungen über math. Physik, Mechanik, 30. Vorlesung.
Dieses Problem wurde von H. Lamb erörtert: Proc. Roy. Soc. 98. 205. London 1921.
Die Poissonsche Konstante ist gleich -1/3 angenommen.
Nach einer Arbeit von R.V.Southwell: Proc. Roy. Soc. (Ser. A) 101, 133 (1922); in diesen Berechnungen ist σ = 0,3 angenommen.
Dieses Wachsen der Frequenz wurde experimentell festgestellt. Siehe die Arbeit von J. H. Powell u. J. H. T. Roberts: Proc. Phys. Soc. 35, 170, London 1923.
Diese Gleichung stellt die Durchbiegungen unter Vernachlässigung der Dehnung der Mittelfläche dar. Sie kann auch zur angenäherten Berechnung der Wirkung der Dehnung verwendet werden.
Siehe die Arbeit von Wilfred Campbell: Trans. Am. Soc. Mech. Eng. 46, 31 (1924). Siehe auch Dr. J. v. Freudenreich: Engg. 119, 2 (1925).
Campbell: 1.c. S. 347.
Die Schwingungen von Turbinenscheiben wurden mit Hilfe dieser Methode von A. Stodola untersucht. Schweiz. Bauzg. 63, 112 (1914).
Eine derartige graphische Methode wurde von Stodola entwickelt: 1.c. S. 81. Auch E. Oehler verwendete sie [Z. V. d. I. 69, 335 (1925)] in guter Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen.
Die Formeln für diese Berechnung hat A. Stodola: 1. c. in allen Einzelheiten entwickelt.
Southwell: 1.c S. 344.
Alle anderen Bezeichnungen sind die gleichen wie für kreisförmige Platten (siehe S. 341). Die Poissonsche Konstante wurde bei diesen Berechnungen gleich 0,3 gesetzt.
Eine Diskussion der Differentialgleichung der Schwingung für den Fall einer Scheibe veränderlicher Dicke findet sich in der Arbeit von Dr. Fr. Dubois: Schweiz. Bauzg. 89, 149 (1927).
Freudenreich: 1.c. S. 347.
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Timoshenko, S. (1932). Schwingungen elastischer Körper. In: Schwingungsprobleme der Technik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-51350-3_4
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