Uber eine besondere Art von Linienkongruenzen

Zusammenfassung

In der Theorie der Linienkongruenzen hat man, abgesehen von den linearen und quadratischen Mannigfaltigkeiten, nur wenige Beispiele, an denen man die durch die allgemeine Theorie gebotenen Untersuchungsmethoden bis zu wirklich geschlossenen Ergebnissen durchführen kann. Eine anscheinend recht glückliche Fragestellung, die auf derartige Beispiele führt, ist neuerdings von Herrn R. Ackermann in seiner Dissertation¹) in Angriff genommen. Ist eine (nicht abwickelbare) Fläche vorgelegt und eine Ebene, die man sich passend als Horizontalebene vorstellen wird, so kann man von den ∞² Tangentialebenen der Fläche diejenigen ∞¹ wählen, die gegen die feste Ebene dieselbe konstante Neigung α aufweisen. Sie umhüllen eine abwickelbare Fläche, deren Erzeugende dieselbe konstante Neigung besitzen und deren Gratlinie demnach eine allgemeine Schraubenlinie ist. Man bezeichnet die Fläche als Böschungsfläche, ihre Erzeugenden als Böschungsstrahlen. Konstruiert man alle möglichen ∞¹ Böschungsflächen, die den verschiedenen Werten von α entsprechen, so bilden ihre Erzeugenden eine Linienkongruenz, deren Geraden, wie unmittelbar einleuchtet, mit den Tangenten an die Falllinien der gegebenen Fläche identisch sind. Unter den zahlreichen Ergebnissen, mit denen Herr Ackermann die Theorie bereichert hat, erscheint eine Eigenschaft der Regelflächen mit Richtebene und gerader Striktionslinie besonders bemerkenswert; für ein derartiges gerades Konoid ist der zweite Brennmantel der Kongruenz eine Fläche derselben Art, die dieselbe Striktionslinie und dieselbe Richtebene besitzt.