Die symmetrischen Komponenten als Transformation

Zusammenfassung

Betrachtet man das Verfahren der symmetrischen Komponenten vom mathematischen Standpunkt aus, so erkennt man, daß es sich dabei um eine Transformation handelt. Alle Größen, Ströme, Spannungen und Impedanzen des Drehstromsystems werden in andere Größen transformiert, und zwar so, daß in dem transformierten System womöglich einfachere Zusammenhänge bestehen. Bei den Strömen und Spannungen handelt es sich um eine lineare Transformation. Ist ein System von drei Größen X ₁, X ₂, X ₃ gegeben, so werden daraus drei neue Größen ${\bar X_1},\,{\bar X_2},\,{\bar X_3}$ durch eine lineare Transformation gebildet, wenn für sie die Gleichungen

$$ \left. \begin{array}{l} {{\bar X}_1} = {A_{11}}{X_1} + {A_{12}}{X_2} + {A_{12}}{X_3}, \\ {{\bar X}_2} = {A_{21}}{X_1} + {A_{22}}{X_2} + {A_{23}}{X_3}, \\ {{\bar X}_3} = {A_{31}}{X_1} + {A_{32}}{X_2} + {A_{33}}{X_3} \\ \end{array} \right\} $$

(19.01)

gelten. Die Transformation ist durch das Schema der Koeffizienten A ₁₁, A ₁₂ usw. bestimmt. Es ist üblich, diese Koeffizienten in Form eines quadratischen Schemas als sogenannte Matrix

$$ \left( \begin{array}{l} {A_{11}},\quad {A_{12}},\quad {A_{13}} \\ {A_{21}},\quad {A_{22}},\quad {A_{23}} \\ {A_{31}},\quad {A_{32}},\quad {A_{33}} \\ \end{array} \right) $$

(19.02)

aufzuschreiben. Zur Vereinfachung der Schreibweise verwendet man allgemeine Indizes, z.B. X _i für X ₁, X ₂, X ₃ und A _ij für die Elemente der Matrix. Man kann dann Gl. (19.01) in der Form

$$ {\bar X_i} = \sum\limits_{j = 1}^3 {{A_{ij}}{X_j}} $$

(19.03)

schreiben, wobei man für i jede der Zahlen 1 bis 3 setzen darf und die Summation über j von 1 bis 3 zu geschehen hat.