Zusammenfassung
Wir nennen elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung denjenigen Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in welchem Wahrscheinlichkeiten von nur endlich vielen zufälligen Ereignissen vorkommen. Die Sätze, die hier gewonnen werden, werden natürlich angewandt auch auf Fragen, die mit unendlich vielen zufälligen Ereignissen verbunden sind, allerdings braucht man bei der Behandlung dieser letzteren Fragen auch wesentlich neue Prinzipien. Deshalb wird ein sich gerade auf den Fall unendlich vieler zufälliger Ereignisse beziehendes Axiom der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie erst zu Beginn des zweiten Kapitels eingeführt (Axiom VI).
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Vgl. z. B. R. von Mises [1] und [2] und S. Bernstein [1].
Ein Leser, der den folgenden Axiomen sofort einen konkreten Sinn geben will, soll sogleich den § 2 lesen.
Vgl. Hausdorff: Mengenlehre 1927 S. 78. Ein Mengensystem heißt ein Körper, wenn Summe Durchschnitt und Differenz von zwei Mengen des Systems wieder dem System angehören. Jeder nicht leere Mengenkörper enthält die Nullmenge 0. Wir bezeichnen mit Hausdorff den Durchschnitt von A und B mit AB, die Vereinigungsmenge von A und B im Falle AB =0 mit A + B, allgemein aber mit A + B, und die Differenz von A und B mit A - B. Das Komplement E - A der Menge A wird durch A bezeichnet. Die elementaren Rechengesetze für Mengen und ihre Durchschnitte, Summen und Differenzen werden weiter als bekannt vorausgesetzt. Mengen aus werden weiter mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet.
Ein Leser, der sich nur für die rein mathematische Entwicklung der Theorie interessiert, braucht diesen Paragraphen nicht zu lesen — die weitere Darstellung beruht auf den Axiomen des § 1 und benutzt nicht die Überlegungen des gegenwärtigen Paragraphen. In diesem wollen wir uns mit dem bloßen Hinweis auf die empirische Entstehung der Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung begnügen und lassen deshalb eine eingehende philosophische Untersuchung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes in der Erfahrungswelt bewußt beiseite. In der Darstellung der notwendigen Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Welt der reellen Geschehnisse folgt der yerfasser im hohem Maße den Ausführungen von Herrn von Mises (vgl. insbesondere [1] S. 21–27: „Das Verhältnis der Theorie zur Erfahrungswelt“).
Vgl. § 3, Formel (3).
Vgl. [1] und [2].
Vgl. S. Bernstein [1], S. 47–57. Der Leser kann das übrigens selbst mühelos nachprüfen (Induktionsschluß).
Zum Beweise erinnere man sich an die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit [Formel (5) aus § 4] und ersetze die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte durch Produkte der Wahrscheinlichkeiten nach der Formel (3).
Die Notwendigkeit dieser Bedingungen folgt aus dem Satz II, § 5, daß sie auch hinreichend sind, schließt man unmittelbar aus dem Multiplikationssatz [Formel (7) des § 4].
Additional information
Besonderer Hinweis
Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Rights and permissions
Copyright information
© 1933 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Kolmogoroff, A. (1933). Die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. In: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 2. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49888-6_1
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-49888-6_1
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-49596-0
Online ISBN: 978-3-642-49888-6
eBook Packages: Springer Book Archive