Der Satz vom iterierten Logarithmus

Zusammenfassung

Die Fragestellung, die in diesem Kapitel behandelt werden soll, besitzt einen in gewisser Hinsicht elementareren Charakter als alle vorangehenden Betrachtungen; denn hier wird kein Verteilungsgesetz, sondern nur eine Abschätzung der in Frage kommenden zufälligen Variablen gesucht; es handelt sich somit um eine Aufgabe, die sich dem durch das Gesetz der großen Zahlen gekennzeichneten Problemkreis anschließt. Andererseits betrifft aber dieses Problem nicht den momentanen Zustand einer zufälligen Variablen, sondern den Gesamtverlauf ihrer Änderung, und steht daher in engstem Zusammenhang mit der Fragestellung, die wir soeben im vierten Kapitel behandelt haben. Zur genaueren Orientierung könnte man mit einigem Recht folgende Formel aufstellen: Der Satz vom iterierten Logarithmus, dessen Begründung den Inhalt dieses Kapitels bilden soll, steht im wesentlichen zum Kolmogoroffschen Satz, den wir im § 2 des vierten Kapitels bewiesen haben, in derselben Beziehung wie das Theorem von Bernoulli zum Laplaceschen Grenzwertsatz oder auch wie das Gesetz der großen Zahlen in seiner Tchebycheffschen Form zum allgemeinen Ljapounoffschen Grenztheorem.