Zusammenfassung
Von J. Plücker (1801–1868) stammt der Gedanke, als Baustein für eine räumliche Geometrie statt der Punkte oder Ebenen höhere Gebilde, z. B. Geraden oder Kugeln zu verwenden. In beiden Fällen wird unser gewöhnlicher Raum Träger einer vierdimensionalen Gesamtheit, denn sowohl die Geraden wie die Kugeln hängen von vier Konstanten ab. F. Klein, der 1866–1868 Plückers physikalischer Assistent war, hat Plückers Werk zu Ende geführt „Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement“(1868, 1869), in dem Plücker seine „Liniengeometrie“hauptsächlich in algebraischer Richtung aufgebaut hatte. Schon vorher ist die Liniengeometrie in Zusammenhang mit der geometrischen Optik insbesondere durch W. R. Hamilton (1805 – 1865) und E. Kummer (1810–1893) in differentialgeometrischer Hinsicht entwickelt worden. Hamiltons Abhandlungen sind 1828, 1830 erschienen und Kummers Schrift über unsern Gegenstand 1860. Später ist die Liniengeometrie in innige und vielfache Beziehungen zur Flächentheorie gekommen1).
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Literatur
Eine zusammenfassende Darstellung der Liniengeometrie bei K. Zindler, Liniengeometrie I, II, Leipzig 1902, 1906. Von demselben Geometer: Die Entwicklung und der gegenwärtige Stand der differentiellen Liniengeometrie, Jahresbericht der D. Math. Ver. 15 (1906), S. 185–213. Man vgl. ferner den jüngst erschienenen ersten Band der gesammelten Abhandlungen von F. Klein, Berlin 1921. Ein älteres Lehrbuch der Liniengeometrie ist das von G. Koenigs, La géométrie réglée et ses applications, Paris 1895.
Vgl. dort bes. § 23, S. 185 und die Literaturangaben S. 207, 208.
P. Appell, Archiv f. Math. u. Phys. (1) 64 (1879), S. 19–23.
Diese Eormen hat systematisch zuerst G. Sannia zur Grundlage der differentialgeometrischen Behandlung der Strahlensysteme gemacht (Math. Annalen 68 (1910), S. 409–416), nachdem schon K. Zindler beide Formen eingeführt hatte.
Das über ein Strahlensystem erstreckte Doppelintegral f h d ω dürfte zuerst von E. Cartan betrachtet worden sein, Bulletin société math. France 24 (1896), S.140–177.
A. Mannheim, Liouvilles Journal (2) 17 (1872), S. 126.
W. R. Hamilton, Transact. of the Irish Ac. 15 (1828) und 16 (1830).
Vgl. § 115, Aufgabe 3.
A. Ribaucour, Étude des élassoïdes ou surfaces à courbure moyenne nulle, Mem. cour. 44, Brüssel 1881. Der Ausdruck „Elassoid“für Minimalfläche hat sich nicht eingebürgert.
Wegen dieser Zuordnung vgl. man J. Grünwald, Monatshefte für Math. u. Phys. 17 (1906), S. 81–136 und W. Blaschke, ebenda 21 (1910), S. 201–308.
Bei einem nicht-zylindrischen Strahlensystem können wir immer r, s als unabhängige Veränderliche nehmen.
Das hat schon E. Study behauptet, Sugli enti analitici, Rendiconti di Palermo 21 (1906), S. 345–359. Für seinen etwas allgemeineren Satz hat Study dem Verfasser kürzlich einen Beweis mitgeteilt.
Vgl. etwa G. Sannia, Annali di matematica, (3) 17 (1910), S. 179–223.
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Blaschke, W. (1921). Liniengeometrie. In: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49666-0_7
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