Unendliche Produkte

Zusammenfassung

Ein unendliches Produkt

$${u_1} \cdot {u_2} \cdot {u_3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {u_n} \cdot \cdot \cdot \cdot $$

sollte nach § II, II lediglich ein anderes Symbol für die Folge der Teilprodukte

$${u_1} \cdot {u_2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {u_n},{\kern 1pt} (n = 1,2,...),$$

sein. Danach müßte man ein solches unendliches Produkt konvergent mit dem Werte U nennen, also

$$ \mathop \Pi \limits_{n = 1}^\infty {u_n} = U $$

setzen, wenn die Folge der genannten Teilprodukte gegen die Zahl U als ihren Grenzwert strebt. Das bringt die Unzuträglichkeit mit sich, daß dann jedes Produkt konvergent genannt werden müßte, bei dem nui cin einziger Faktor = o ist. Denn ist u _m = o, so würde auch die Folge der Teilprodukte gegen U = o streben, da ihre Glieder für n ≧ m sämtlich gleich o wären. Ebenso wäre ersichtlich jedes Produkt konvergent — und wieder mit dem Werte o —, bei dem für alle n von einer Stelle ab

$$ \left| {{u_n}} \right| \leqq \vartheta < I $$

ist. Um diese nichtssagenden Fälle auszuschließen, beschreibt man das Konvergenzverhalten eines unendlichen Produktes nicht ohne weiteres durch dasjenige der Folge der Teilprodukte, sondern benutzt zweckmäßiger die folgende Definition, die der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation Rechnung trägt: