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Einführung in die statistische Methode

  • Siegfried Flügge
Chapter
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Zusammenfassung

Die Mechanik hat sich zunächst an möglichst einfachen Systemen entwickelt, insbesondere am Ein- und Zweikörperproblem. Dies gilt gleichermaßen für die klassische wie für die Quantenmechanik. Nachdem dann aber einmal die allgemeinen Bewegungsgesetze erkannt und formuliert waren, ließen sich immer kompliziertere Mehrkörperprobleme in die Betrachtung einbeziehen. Hierbei wird nicht nur die vollständige Erfassung aller individuellen Bewegungen mit wachsender Teilchenzahl rasch sehr schwierig und praktisch unmöglich, sondern es erhebt sich auch die Frage, ob sie denn überhaupt noch von Interesse sei. In der Tat ist die Angabe geschickt ausgewählter mittlerer Bewegungszustände nicht nur mit billigeren Mitteln erreichbar, sondern auch viel eher geeignet, um ein kompliziertes System übersichtlich zu beschreiben. In dieser sehr allgemeinen Überlegung liegt der Ansatzpunkt zur statistischen Mechanik, die wir im folgenden wenigstens in ihren wichtigsten Grundzügen entwickeln wollen.

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Notes

  1. 1.
    Diese Forderung wird in der kinetischen Gastheorie zum Teil gelockert.Google Scholar
  2. 1.
    Vgl. auch Band I, S. 153.Google Scholar
  3. 1.
    Dies ist nicht ganz korrekt. In Wirklichkeit ist jede stehende Welle mit λ = h/p trägt aber zu den Zuständen mit +p und — p bei. Näheres in Band IV, 1. c.Google Scholar
  4. 1.
    Die Wärmekapazität kann auch auf 1 g Substanz bezogen werden; dann heißt sie die spezifische Wärme:Google Scholar
  5. 1.
    Maxwell, J. C.: Phil. Mag. 19, 22 (1860).Google Scholar
  6. 1.
    Vgl. etwa Band III, S. 252.Google Scholar
  7. 1.
    Eine analoge Rolle wie hier die Kopplung spielt bei der Hohlraumstrahlung in § 22 das Plancksche „Kohlestäubchen“, s. unten S. 227.Google Scholar
  8. 1.
    In § 27 werden wir die strenge Behandlung mit Hilfe der Boltzmannschen Stoßgleichung besprechen, die zwar zu einem tieferen Verständnis und im Einzelfall zu korrekteren Aussagen bei Zahlenfaktoren führt als das hier entwickelte simple Modell; andererseits ist der dort erforderliche Rechenaufwand unvergleichlich größer.Google Scholar
  9. 2.
    Selbstdiffusion läßt sich experimentell studieren durch Verwendung „markierter“ Atome, d.h. anderer, insbesondere radioaktiver Isotope. Vgl. auch Band I, S. 158.Google Scholar
  10. 1.
    Vgl. auch § 22 a von Band I zur makroskopischen Begriffsbildung.Google Scholar
  11. 1.
    Loschmidt, J.: Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien 52, 395 (1865).Google Scholar
  12. 1.
    Für eine nähere Begründung der vorstehenden quantenmechanischen Ergebnisse vgl. Band IV. In bezug auf Moleküle finden sich dort besonders in § 20 nähere Einzelheiten; Rotationsterme sind im Zusammenhang mit der Theorie des Drehimpulses, Vibrationsterme im Rahmen des harmonischen Oszillators mehrfach von verschiedensten Gesichtspunkten aus diskutiert. Die Konstante ħ = h/(2π).Google Scholar
  13. 1.
    Angaben nach J. D. Fast: Entropie, S. 273. Philips Technische Bibliothek Eindhoven 1960.Google Scholar
  14. 1.
    Ein Rotationsübergang von J + 1 nach J (Auswahlregel ΔJ=1) setzt die Energiedifferenz Da die ganze Serie der Frequenzen mit J = 0, 1, 2, … erscheint, kann man aus den relativen Abständen der Spektrallinien die J-Werte zuordnen und gewinnt aus dem Absolutwert der Frequenzen das Trägheitsmoment Θ.Google Scholar
  15. 2.
    Bartholomé, E., u. K. Clusius: Naturwissenschaften 22, 297 (1934); — Z. physik. Chemie, Abt. B 29, 162 (1935).CrossRefGoogle Scholar
  16. 1.
    Bonhoeffer, K. F., u. P. Harteck: Naturwissenschaften 17, 182 (1929); — Z. physik. Chemie, Abt. B 4, 113 (1929). — Die erste Messung des Anstiegs von CR bei tiefen Temperaturen gelang A. Eucken 1912 (Sitzgsber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin) für H2. Die theoretische Erklärung mit Hilfe der Zusammensetzung aus o-H2 und p-H2, wie wir sie oben vorgeführt haben, geht zurück auf P. M. Dennison: Proc. Roy. Soc. London A 115, 483 (1927). Vgl. auch den Bericht von L. Farkas „Über Para-und Ortho Wasserstoff“ in Ergebn. exakt. Naturw. 12, 163–218 (1933). Die Messungen an HD und D2 von Bartholomé und Clusius von 1934 sind oben bereits zitiert.ADSCrossRefGoogle Scholar
  17. 1.
    Eine dreidimensionale Wellengleichung, allerdings für eine skalare Funktion, wurde bereits in Band I, S. 142 gewonnen und behandelt. Beispiele für vektorielle Wellengleichungen bietet die Theorie elastischer Wellen in § 12 dieses Bandes. Die im folgenden konstruierten Eigenschwingungen entsprechen den für die zweidimensionale Wellengleichung bei der Rechteckmembran in Band I, S. 122–126 gewonnenen Lösungen.Google Scholar
  18. 2.
    Vgl. Band III, S. 198.Google Scholar
  19. 1.
    M. Planck: Verh. Dtsch. Phys. Ges. 2, 237 (1900).Google Scholar
  20. 1.
    Vorläufiges über die Lichtquanten wird in Band IV, S. 10ff. gesagt. Der harmonische Oszillator der Mechanik ist dort in § 25 quantisiert, die Molekülschwingungen sind einschließlich einer leichten Anharmonizität in § 20 b diskutiert.Google Scholar
  21. 1.
    Die in § 8 behandelte lineare einatomige Kette ist das einfachste Modell der hier skizzierten Aufgabe.Google Scholar
  22. 1.
    P. P. D. Ebye: Ann. Physik 39, 789 (1912).ADSzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  23. 1.
    Entnommen aus M. Blackman: The specific heat of solids, Tabelle auf S. 329 in Handbuch der Physik VII/1 (1955). Dieser Artikel führt auch in die Abweichungen von der Debyeschen Theorie ein.Google Scholar
  24. 2.
    Dieses Verfahren haben wir bereits in § 21 bei Behandlung der Rotationsniveaus zur Quantenzahl J angewandt, bei denen wir das statistische Gewicht gJ = 2J + 1 einführten.Google Scholar
  25. 1.
    Die Bezeichnung H-Theorem ist rein historisch: Boltzmann hatte in seinen klassischen Arbeiten für die Größe — S das Zeichen H benutzt. Der Zusammenhang von Entropie und Wahrscheinlichkeit wurde von ihm 1877 erkannt, doch gehen seine frühesten Arbeiten zum zweiten Hauptsatz bis 1871 zurück (sämtlich in Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien veröffentlicht).Google Scholar
  26. 1.
    Die Darstellung folgt hier ungefähr derjenigen von L. Waldmann im Handbuch der Physik, Bd. 12 (1958), S. 348–350.Google Scholar
  27. 1.
    Vgl. die Ausführungen über die Lorentzkraft in Band III, S. 132.Google Scholar
  28. 1.
    Vgl. § 14, Gl. (4).Google Scholar
  29. 1.
    Man beachte, daß F keine reine Zahl ist, sondern die Dimension (Impuls)-3 hat, so daß es besser wäre, φ = In (CF) mit einer dimensionsbehafteten Konstanten C zu schreiben. An den folgenden Schlüssen würde sich dadurch nichts ändern; in Gl. (31) fiele die Konstante C heraus, und in der Entropieformel (33) bzw. (42) würde nur die Bedeutung der additiven willkürlichen Konstanten S0 geändert. Beim Vergleich von (42) mit der dimensionskorrekten Gl. (7) von § 20 ist dies jedoch zu beachten. — In der Thermodynamik ist es durchaus üblich, In T oder In p zu schreiben, ohne auf diese Dimensionsschwierigkeit zu achten, die die Schreibweise inkorrekt macht. Wir werden sie in diesem Buche fast immer vermeiden, jedoch gelegentlich an solchen Stellen benutzen, wo die Formeln dadurch übersichtlicher werden.Google Scholar
  30. 1.
    Das Symbol d/dt schließt bei Anwendung auf F Ableitungen nach den Impulskomponenten ein, wenn es dagegen vor dem Integralzeichen steht, nicht mehr. Die Vertauschung von d/dt mit dem Integralzeichen ist aber dennoch erlaubt, da wir bei Herleitung der Kontinuitätsgleichung (16) gezeigt haben, daß die Dif-ferenzterme verschwinden.Google Scholar
  31. 1.
    Man beachte, daß hier das Argument des Logarithmus nicht dimensionslos ist. Vgl. Fußnote auf S. 256.Google Scholar
  32. 1.
    S. Chapman: Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 217, 115 (1917). — D. Enskog: Kinetische Theorie der Vorgänge in mäßig verdünnten Gasen. I. Diss. Uppsala 1917.ADSGoogle Scholar
  33. 1.
    Die hier gegebene Darstellung schließt sich weitgehend an diejenige von L. Waldmann in Band XII des Handbuchs der Physik (Springer 1958) an, der lediglich die Schreibung in Geschwindigkeitskomponenten derjenigen in Impulskomponenten vorzieht. Gl. (21) entspricht genau seiner Gl. (47-1) auf S. 387. Die Funktionen A und B werden in seiner Ziff. 49 auf S. 390 ff. näher untersucht.Google Scholar
  34. 1.
    Dieser Problemkreis wird unter anderen Gesichtspunkten nochmals in Band III, § 11 behandelt.Google Scholar
  35. 1.
    Die Beziehung j = σE entspricht genau dem Ohmschen Gesetz, vgl. Band III, S. 89. Die Wärmeleitfähigkeit wurde bereits in Band I, S. 170 definiert.Google Scholar
  36. 1.
    Man kann z. B. auch schreiben, wobei die ψn Funktionen von p sind. HILBERT hat gezeigt, daß dann die ψn Lösungen von Integralgleichungen im Impulsraum sind, deren Eigenwerte die Größen 1/τn werden.Google Scholar
  37. 1.
    Vgl. S. 284 und S. 290.Google Scholar
  38. 2.
    Eine stark vereinfachte Modelltheorie des Stoßvorganges, die die wesentlichen Züge enthält, wird in § 11 von Band III gegeben.Google Scholar
  39. 1.
    In der klassischen Statistik haben wir jedem Zustand r eindeutig eine Energie Er zugeordnet; der Begriff der Entartung war nicht aufgetreten. In der Quantenstatistik geht man umgekehrt vor und ordnet jeder Energie Er eine große Zahl gr von Zuständen zu. Daß man gerade die Energie als Ordnungsparameter benutzt, ist nicht so willkürlich, wie es scheinen könnte: Die Klassifizierung nach Einteilchen-zuständen hat nur Sinn, wenn diese wenigstens annähernd stationär sind; nur die Energie ist aber für stationäre Zustände in der Quantenmechanik immer scharf definiert, vgl. Band IV, S. 319.Google Scholar
  40. 1.
    Die Relation β=1/kT haben wir hier, analog zur klassischen Statistik, bereits verwendet.Google Scholar
  41. 1.
    Das Pauli-Prinzip wird in Band IV insbesondere in § 33 genauer beschrieben; über die Fermi-Dirac-Statistik vgl. ebenda § 35.Google Scholar
  42. 1.
    Dieser Abschnitt schließt sich eng an eine Arbeit des Verfassers in Z. Physik 93, 804 (1935) an.Google Scholar
  43. 2.
    Gl. (19) ergäbe f ≡ 1; hierbei ist aber jeder der gr Zustände gleicher Energie Er getrennt gezählt.Google Scholar
  44. 1.
    Die niedrigste Anregungsenergie von Helium ist 19, 75 eV, von Argon 11, 55 eV. Setzt man diese Energien gleich k T, so ergibt sich für 1 eV eine Temperatur von rund 11600 Grad; beim Helium würde also erst bei 200000 Grad, beim Argon bei 130000 Grad eine merkliche Temperaturanregung stattfinden. Temperaturen von einigen 104 Grad sind also noch zulässig.Google Scholar
  45. 1.
    In Band IV, S. 303 f. ist für die Fermi-Statistik die Temperaturdefinition zugrundegelegt, die sich ebenso verwenden läßt und etwa mit gleichem Rechenaufwand zum gleichem Ergebnis führt.Google Scholar
  46. 1.
    Die Einstein-Kondensation tritt in der superfluiden Phase (He II) des flüssigen Heliums unterhalb von etwa 2° K auf.Google Scholar
  47. 1.
    Die Ausdrücke (32) bis (35) sind ebenfalls in Band IV, S. 307 abgeleitet, wo die Berechnung der Integrale etwas gründlicher ausgeführt und die spezifische Wärme genauer diskutiert ist.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • Siegfried Flügge
    • 1
  1. 1.UniversitÄt FreiburgBreisgauGermany

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