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Mechanik der Kontinua

  • Siegfried Flügge
Chapter
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Zusammenfassung

In Band I, §19, wurde der Ansatz der Elastizitätstheorie am zweidimensionalen Sonderfall in anschaulicher Weise vorgeführt. Dabei wurden soweit wie möglich bereits dort Formulierungen angestrebt, die sich auf den dreidimensionalen Fall verallgemeinern lassen.

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Notes

  1. 1.
    Häufig wird die Hälfte unseres Ausdrucks γik, Gl. (7), als Deformationstensor benutzt (z.B. von SOMMERFELD und von WEIZEL). Schreiben wir dafür Google Scholar
  2. 1.
    Vgl. die Einführung des zweidimensionalen homogenen Spannungszustandes in Band I, S. 120.Google Scholar
  3. 1.
    In der sehr verbreiteten Voigtschen Schreibweise werden die Paare (ik) = ϱ und (μν) = σ von 1 bis 6 durchnumeriert. Die Konstanten lassen sich dann kürzer cϱσ mit nur zwei Indices schreiben; der Tensorcharakter der Formeln geht aber dabei verloren.Google Scholar
  4. 1.
    Gl. (19) wird in § 11, Gl. (7) ausführlich hergeleitet.Google Scholar
  5. 1.
    Stattdessen führt man häufig die Laméschen Konstanten λ = 2B und μ = A-B ein.Google Scholar
  6. 1.
    Vgl. die Einführung der Kompressibilität von Gasen in Band I, S. 138, Gl. (4a).Google Scholar
  7. 2.
    Robert Hooke (1635–1703), Schüler von Boyle seit 1655 und “curator of experiments ” der Royal Society seit 1662, gehört zu der Gruppe englischer Physiker, die durch die Restauration von 1660 zum Zuge kamen und in der neu gegründeten Royal Society den bedeutendsten Beitrag zur Grundlegung der modernen Wissenschaft leisteten.Google Scholar
  8. 1.
    Die Divergenz eines Tensors ist ein Vektor. Die ersten drei Glieder der Klammer in (2) bilden die x1-Komponente des Vektors Div τ; die beiden anderen Komponenten erhält man durch zyklisches Vertauschen der Indices 1, 2, 3.Google Scholar
  9. 1.
    In § 10c, Gl. (19), war δA die von den Spannungen bei der Deformation geleistete Arbeit. Hier verwenden wir δA mit umgekehrtem Vorzeichen für die gegen die Spannungen zu leistende Arbeit.Google Scholar
  10. 1.
    Im folgenden machen wir insbesondere von folgenden allgemein gültigen Formeln Gebrauch: (1)Google Scholar
  11. 1.
    Vgl. hierzu auch die Ausführungen über das elektrische Feld in Band III, S. 10 und das praktische Beispiel, ebenda S. 64 f.Google Scholar
  12. 2.
    Dies ist völlig analog zu der Situation bei der schwingenden Saite, vgl. Band I, S. 101. Anstelle des Tensors τ tritt dort die Komponente S ∂u/∂x der Spannkraft S.Google Scholar
  13. 1.
    Vgl. hierzu Band I, S. 61 f. und die Einführung des Potentials in die Elektrostatik, Band III, S. 2.Google Scholar
  14. 2.
    Das Vektorpotential spielt bei elektromagnetischen Wellen eine viel zentralere Rolle, vgl. Band III, S. 146ff.Google Scholar
  15. 1.
    Natürlich erhält man für die komplexe Funktion überhaupt keine Knoten, sondern hat zunächst eine reelle Kombination zu bilden. Ist die komplexe Amplitude eine solche reelle Lösung und mit beliebigem φ zugleich die allgemeinste zu gegebenem t.Google Scholar
  16. 1.
    Vgl. hierzu auch § 16a für eine freie Flüssigkeitsoberfläche.Google Scholar
  17. 2.
    Sollen die Randbedingungen für alle Zeiten gelten, so müssen alle Anteile in gleicher Weise von t abhängen.Google Scholar
  18. 1.
    Man vergleiche zu der vorstehenden Betrachtung auch die Herleitung der Fresnelschen Formeln für Lichtwellen in § 25 von Band III.Google Scholar
  19. 2.
    Vgl. hierüber Band III, besonders die historischen Bemerkungen auf S. 211 und 285.Google Scholar
  20. 1.
    Hätten wir uL und uT mit verschiedenen Wellenzahlen kL und kT angesetzt, so würde sich an dieser Stelle kL = kT ergeben.Google Scholar
  21. 1.
    Für experimentelles Material und nähere Einzelheiten vgl. Handbuch der Physik, Band 47 (1956), besonders die Beiträge von K. E. Bullen sowie von M. Ewing und F. Press.Google Scholar
  22. 2.
    Vgl. Band I, S. 189.Google Scholar
  23. 1.
    Die Zahlen sind entnommen aus K. E. Bullen: Seismic wave transmission, Handbuch der Physik, Band 47 (1956), S. 103. Sie beruhen im wesentlichen auf Arbeiten von Bullen, Jeffreys und Gutenberg.Google Scholar
  24. 2.
    Dies Randwertproblem hat große Ähnlichkeit mit dem elektromagnetischen der Wellenleiter, das in Band III, § 19 behandelt wird.Google Scholar
  25. 1.
    Zum Begriff der Gruppengeschwindigkeit oder Signalgeschwindigkeit vgl. Band III, S. 269ff.Google Scholar
  26. 1.
    Entweder setzen wir einen nur über ein endliches Zeitintervall ablaufenden Vorgang voraus, vor und nach dem alle δui = 0 sind, oder wir betrachten zeitlich periodische Vorgänge, z.B. elastische Wellen, über eine ganze Zahl von Perioden, so daß sich die δui zu Beginn und Ende des Zeitintervalls wegheben.Google Scholar
  27. 1.
    Die gilt für eine freie Oberfläche. Stoßen zwei elastische Medien längs einer Trennungsfläche zusammen, so gelten in jedem Feldgleichungen nach Art von (6), und an der Trennungsfläche muß die Größe (7) stetig sein. Wir werden weiter unten zeigen, was dies physikalisch bedeutet: Der Energiestrom durch die Oberfläche hindurch muß verschwinden, durch eine Trennungsfläche hindurch stetig sein.Google Scholar
  28. 1.
    Es sei besonders darauf hingewiesen, daß u̇i und ẇi in diesem Paragraphen lokale Ableitungen nach t bedeuten: Google Scholar
  29. 1.
    Kontinuitätsgleichungen als Erhaltungssätze sind uns bereits in Band I mehrfach begegnet, so für die Masse bei Strömungen auf S. 139 ff. und bei der Diffusion auf S. 164, ferner für die Wärmeenergie bei Problemen der Wärmeleitung auf S. 169 ff. Für die elektromagnetische Energie werden wir in Band III, S. 126ff. wieder ganz ähnlich vorgehen.Google Scholar
  30. 1.
    Vgl. hierzu auch Band I, S. 139. — Für eine saubere mathematische Beschreibung des Sachverhaltes vgl. auch TRUESDELL U. NOLL, Handbuch der Physik, Band III/3, S. 37 ff. Wir definieren ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z und ein teilchenfestes X, Y, Z, die eindeutig aufeinander bezogen werden können: X = X (x, y, z, t) usw. Jede Größe 5 kann dann entweder als Funktion von x, y, z, t oder als Funktion von X, Y, Z, t beschrieben werden. Lokale Ableitungen nach t sind dann solche, bei denen x, y, z, substantielle solche, bei denen X, Y, Z festgehalten werden. Beim Umrechnen der Differentialquotienten aufeinander treten die Geschwindigkeitskomponenten dx/dt usw. auf, die als Ableitungen nach t bei festgehaltenen X, Y, Z, also als materielle Geschwindigkeiten gemeint sind.Google Scholar
  31. 2.
    Wir werden in § 26 für die kinetische Gastheorie solche Mittelwertbildungen noch ausführlich zu untersuchen haben.Google Scholar
  32. 1.
    Für die Kontinuitätsgleichung und den Stromdichtebegriff vgl. Band I, S. 139–141.Google Scholar
  33. 1.
    Zur Namengebung vgl. L. Prandtl: Strömungslehre, 2. Aufl., Braunschweig 1944, S. 93 f., wo auch die Originalliteratur zitiert ist.Google Scholar
  34. 1.
    Der kritische Wert hängt stark von der Form des Einlaufs ab; setzt das Rohr etwa mit einer scharfen Kante an ein Gefäß an, so ist Rkrit ≈ 1400, rundet man die Kante gut ab, so läßt sich Rkrit bis in die Gegend von 20000 erhöhen.Google Scholar
  35. 1.
    Für ein beliebiges Vektorfeld v(r, ϑ, φ) gilt In unserem Fall hat rot v nur eine φ-Komponente.Google Scholar
  36. 1.
    Man erhält das z.B. aus der Lösung von Vgl. auch Band III, S. 31. — Die Kugelfunktionen Pl wurden in Band I, S. 144 ff. eingeführt, vgl. dort insbesondere die Differentialgleichung (26) auf S. 145 für m = 0.Google Scholar
  37. 1.
    Im Anhang von Band I haben wir auf S. 210 für ein charakteristisches Beispiel davon Gebrauch gemacht. In der Atomphysik hat die Stokessche Formel als Hilfsmittel beim Millikanschen Tröpfchenversuch zur Messung der elektrischen Elementarladung neue Bedeutung erlangt. Hierbei wird oft noch die sogenannte Cunninghamsche Korrektur notwendig, welche der Tatsache Rechnung trägt, daß der Versuch mit extrem kleinen Tröpfchen in Gasen (Luft) ausgeführt wird, bei denen die freie Weglänge mit dem Durchmesser vergleichbar wird. Eine weitere Korrektur zur Berücksichtigung des vernachlässigten Gliedes ϱ (v · grad) v hat Oseen angegeben.Google Scholar
  38. 1.
    Vgl. z.B. Band I, S. 140: ϱv ist die Stromdichte, r 2 das Oberflächenelement (dΩ = Raumwinkelelement).Google Scholar
  39. 2.
    Für das Vektorfeld v = grad Φ lautet der Gaußsche Satz Google Scholar
  40. 1.
    Vgl. hierzu auch Band III, § 3e, S. 22–25.Google Scholar
  41. 1.
    Über Fourierreihen vgl. auch Band I, § 18c, S. 107–111 und die Anwendungsbeispiele ebenda, S. 237 und 239.Google Scholar
  42. 1.
    In Ψ haben wir das logarithmische Potential vor uns: In zwei Dimensionen wird die Gleichung ΔΨ = 0 durch Ψ= C In r gelöst. Vgl. z.B. die Anwendung auf ein elektrostatisches Potential in Band III, S. 22.Google Scholar
  43. 1.
    Für kZ = 2πZ/λ = 2 oder Z = 0,318λ wird bereits Cot kZ= 1,0373 nahezu gleich 1, wie es einem „tiefen“ Gewässer entspricht.Google Scholar
  44. 1.
    Über Kugelfunktionen vgl. Band I, S. 144–152.Google Scholar
  45. 1.
    Vgl. die Fußnote auf S. 155.Google Scholar
  46. 2.
    Vgl. den Beweis in Band I, S. 207, Fußnote.Google Scholar
  47. 1.
    Für eine eingehende Behandlung dieses Gebietes vgl. etwa die Artikel über inelastische Kontinua (Plastizität) und Rheologie in Band 6 des Handbuchs der Physik (1958).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • Siegfried Flügge
    • 1
  1. 1.UniversitÄt FreiburgBreisgauGermany

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