Zusammenfassung
In Band I, §19, wurde der Ansatz der Elastizitätstheorie am zweidimensionalen Sonderfall in anschaulicher Weise vorgeführt. Dabei wurden soweit wie möglich bereits dort Formulierungen angestrebt, die sich auf den dreidimensionalen Fall verallgemeinern lassen.
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Notes
Häufig wird die Hälfte unseres Ausdrucks γik, Gl. (7), als Deformationstensor benutzt (z.B. von SOMMERFELD und von WEIZEL). Schreiben wir dafür
Vgl. die Einführung des zweidimensionalen homogenen Spannungszustandes in Band I, S. 120.
In der sehr verbreiteten Voigtschen Schreibweise werden die Paare (ik) = ϱ und (μν) = σ von 1 bis 6 durchnumeriert. Die Konstanten lassen sich dann kürzer cϱσ mit nur zwei Indices schreiben; der Tensorcharakter der Formeln geht aber dabei verloren.
Gl. (19) wird in § 11, Gl. (7) ausführlich hergeleitet.
Stattdessen führt man häufig die Laméschen Konstanten λ = 2B und μ = A-B ein.
Vgl. die Einführung der Kompressibilität von Gasen in Band I, S. 138, Gl. (4a).
Robert Hooke (1635–1703), Schüler von Boyle seit 1655 und “curator of experiments ” der Royal Society seit 1662, gehört zu der Gruppe englischer Physiker, die durch die Restauration von 1660 zum Zuge kamen und in der neu gegründeten Royal Society den bedeutendsten Beitrag zur Grundlegung der modernen Wissenschaft leisteten.
Die Divergenz eines Tensors ist ein Vektor. Die ersten drei Glieder der Klammer in (2) bilden die x1-Komponente des Vektors Div τ; die beiden anderen Komponenten erhält man durch zyklisches Vertauschen der Indices 1, 2, 3.
In § 10c, Gl. (19), war δA die von den Spannungen bei der Deformation geleistete Arbeit. Hier verwenden wir δA mit umgekehrtem Vorzeichen für die gegen die Spannungen zu leistende Arbeit.
Im folgenden machen wir insbesondere von folgenden allgemein gültigen Formeln Gebrauch: (1)
Vgl. hierzu auch die Ausführungen über das elektrische Feld in Band III, S. 10 und das praktische Beispiel, ebenda S. 64 f.
Dies ist völlig analog zu der Situation bei der schwingenden Saite, vgl. Band I, S. 101. Anstelle des Tensors τ tritt dort die Komponente S ∂u/∂x der Spannkraft S.
Vgl. hierzu Band I, S. 61 f. und die Einführung des Potentials in die Elektrostatik, Band III, S. 2.
Das Vektorpotential spielt bei elektromagnetischen Wellen eine viel zentralere Rolle, vgl. Band III, S. 146ff.
Natürlich erhält man für die komplexe Funktion überhaupt keine Knoten, sondern hat zunächst eine reelle Kombination zu bilden. Ist die komplexe Amplitude eine solche reelle Lösung und mit beliebigem φ zugleich die allgemeinste zu gegebenem t.
Vgl. hierzu auch § 16a für eine freie Flüssigkeitsoberfläche.
Sollen die Randbedingungen für alle Zeiten gelten, so müssen alle Anteile in gleicher Weise von t abhängen.
Man vergleiche zu der vorstehenden Betrachtung auch die Herleitung der Fresnelschen Formeln für Lichtwellen in § 25 von Band III.
Vgl. hierüber Band III, besonders die historischen Bemerkungen auf S. 211 und 285.
Hätten wir uL und uT mit verschiedenen Wellenzahlen kL und kT angesetzt, so würde sich an dieser Stelle kL = kT ergeben.
Für experimentelles Material und nähere Einzelheiten vgl. Handbuch der Physik, Band 47 (1956), besonders die Beiträge von K. E. Bullen sowie von M. Ewing und F. Press.
Vgl. Band I, S. 189.
Die Zahlen sind entnommen aus K. E. Bullen: Seismic wave transmission, Handbuch der Physik, Band 47 (1956), S. 103. Sie beruhen im wesentlichen auf Arbeiten von Bullen, Jeffreys und Gutenberg.
Dies Randwertproblem hat große Ähnlichkeit mit dem elektromagnetischen der Wellenleiter, das in Band III, § 19 behandelt wird.
Zum Begriff der Gruppengeschwindigkeit oder Signalgeschwindigkeit vgl. Band III, S. 269ff.
Entweder setzen wir einen nur über ein endliches Zeitintervall ablaufenden Vorgang voraus, vor und nach dem alle δui = 0 sind, oder wir betrachten zeitlich periodische Vorgänge, z.B. elastische Wellen, über eine ganze Zahl von Perioden, so daß sich die δui zu Beginn und Ende des Zeitintervalls wegheben.
Die gilt für eine freie Oberfläche. Stoßen zwei elastische Medien längs einer Trennungsfläche zusammen, so gelten in jedem Feldgleichungen nach Art von (6), und an der Trennungsfläche muß die Größe (7) stetig sein. Wir werden weiter unten zeigen, was dies physikalisch bedeutet: Der Energiestrom durch die Oberfläche hindurch muß verschwinden, durch eine Trennungsfläche hindurch stetig sein.
Es sei besonders darauf hingewiesen, daß u̇i und ẇi in diesem Paragraphen lokale Ableitungen nach t bedeuten:
Kontinuitätsgleichungen als Erhaltungssätze sind uns bereits in Band I mehrfach begegnet, so für die Masse bei Strömungen auf S. 139 ff. und bei der Diffusion auf S. 164, ferner für die Wärmeenergie bei Problemen der Wärmeleitung auf S. 169 ff. Für die elektromagnetische Energie werden wir in Band III, S. 126ff. wieder ganz ähnlich vorgehen.
Vgl. hierzu auch Band I, S. 139. — Für eine saubere mathematische Beschreibung des Sachverhaltes vgl. auch TRUESDELL U. NOLL, Handbuch der Physik, Band III/3, S. 37 ff. Wir definieren ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z und ein teilchenfestes X, Y, Z, die eindeutig aufeinander bezogen werden können: X = X (x, y, z, t) usw. Jede Größe 5 kann dann entweder als Funktion von x, y, z, t oder als Funktion von X, Y, Z, t beschrieben werden. Lokale Ableitungen nach t sind dann solche, bei denen x, y, z, substantielle solche, bei denen X, Y, Z festgehalten werden. Beim Umrechnen der Differentialquotienten aufeinander treten die Geschwindigkeitskomponenten dx/dt usw. auf, die als Ableitungen nach t bei festgehaltenen X, Y, Z, also als materielle Geschwindigkeiten gemeint sind.
Wir werden in § 26 für die kinetische Gastheorie solche Mittelwertbildungen noch ausführlich zu untersuchen haben.
Für die Kontinuitätsgleichung und den Stromdichtebegriff vgl. Band I, S. 139–141.
Zur Namengebung vgl. L. Prandtl: Strömungslehre, 2. Aufl., Braunschweig 1944, S. 93 f., wo auch die Originalliteratur zitiert ist.
Der kritische Wert hängt stark von der Form des Einlaufs ab; setzt das Rohr etwa mit einer scharfen Kante an ein Gefäß an, so ist Rkrit ≈ 1400, rundet man die Kante gut ab, so läßt sich Rkrit bis in die Gegend von 20000 erhöhen.
Für ein beliebiges Vektorfeld v(r, ϑ, φ) gilt In unserem Fall hat rot v nur eine φ-Komponente.
Man erhält das z.B. aus der Lösung von Vgl. auch Band III, S. 31. — Die Kugelfunktionen Pl wurden in Band I, S. 144 ff. eingeführt, vgl. dort insbesondere die Differentialgleichung (26) auf S. 145 für m = 0.
Im Anhang von Band I haben wir auf S. 210 für ein charakteristisches Beispiel davon Gebrauch gemacht. In der Atomphysik hat die Stokessche Formel als Hilfsmittel beim Millikanschen Tröpfchenversuch zur Messung der elektrischen Elementarladung neue Bedeutung erlangt. Hierbei wird oft noch die sogenannte Cunninghamsche Korrektur notwendig, welche der Tatsache Rechnung trägt, daß der Versuch mit extrem kleinen Tröpfchen in Gasen (Luft) ausgeführt wird, bei denen die freie Weglänge mit dem Durchmesser vergleichbar wird. Eine weitere Korrektur zur Berücksichtigung des vernachlässigten Gliedes ϱ (v · grad) v hat Oseen angegeben.
Vgl. z.B. Band I, S. 140: ϱv ist die Stromdichte, r 2 dΩ das Oberflächenelement (dΩ = Raumwinkelelement).
Für das Vektorfeld v = grad Φ lautet der Gaußsche Satz
Vgl. hierzu auch Band III, § 3e, S. 22–25.
Über Fourierreihen vgl. auch Band I, § 18c, S. 107–111 und die Anwendungsbeispiele ebenda, S. 237 und 239.
In Ψ haben wir das logarithmische Potential vor uns: In zwei Dimensionen wird die Gleichung ΔΨ = 0 durch Ψ= C In r gelöst. Vgl. z.B. die Anwendung auf ein elektrostatisches Potential in Band III, S. 22.
Für kZ = 2πZ/λ = 2 oder Z = 0,318λ wird bereits Cot kZ= 1,0373 nahezu gleich 1, wie es einem „tiefen“ Gewässer entspricht.
Über Kugelfunktionen vgl. Band I, S. 144–152.
Vgl. die Fußnote auf S. 155.
Vgl. den Beweis in Band I, S. 207, Fußnote.
Für eine eingehende Behandlung dieses Gebietes vgl. etwa die Artikel über inelastische Kontinua (Plastizität) und Rheologie in Band 6 des Handbuchs der Physik (1958).
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Flügge, S. (1967). Mechanik der Kontinua. In: Lehrbuch Der Theoretischen Physik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49231-0_2
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