Zusammenfassung
In diesem Kapitel soll der Grundgedanke von Gauß’ flächentheoretischen Untersuchungen auseinandergesetzt werden. Denkt man sich eine Fläche aus einem biegsamen, undehnbaren Stoff hergestellt, wie er etwa durch Papier verwirklicht wird, so läßt diese Fläche (oder ein genügend kleines Stück von ihr) außer ihrer Beweglichkeit als starrer Körper im allgemeinen auch noch (stetige) Formänderungen, sogenannte „Verlegungen“ zu. Die Undehnbarkeit äußert sich dadurch, daß die Bogenlängen aller auf der Fläche gezogenen Kurven bei der Verbiegung ungeändert bleiben. Etwas allgemeiner bezeichnet man als „längentreue“ oder „isometrische Abbildung“ zweier Flächen aufeinander eine Abbildung mit Erhaltung der Längen. Verbiegungen von Flächenstreifen haben wir ja schon im § 37 behandelt. Jetzt wollen wir uns mit der Verbiegung von Flächen beschäftigen, welche mathematisch durch eine von einem reellen Parameter stetig abhängende Schar isometrischer Flächen beschrieben werden kann.
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Notes
Die Flächen müssen als viermal stetig differenzierbar vorausgesetzt werden, damit sie in der speziellen Gestalt (1) nocH zweimal stetig differenzierbar sind (vgl. § 55).
Lebesgue, H.: Comptes Rendus 128, 1502–1505 (1899). Tangentenflä chen der isotropen Kurven (§ 19) sind nicht „ab wickelbar“.
Schilt, H.: Compositio Math. 5, 239–283 (1937).
Minding, F.: Bemerkung über die Abwicklung … Crelles Journal 6, 159 (1830); Liouville, J. in Monges Application …, 568 unten (1850).
Das Wort „Linienelement“ bedeutet hier einen Punkt mit hindurchgehender Richtung.
Die Bedingung des Einbettens ist nahe verwandt mit der sogenannten Bedingung Jacobis, auf die wir später (§ 110) zu sprechen kommen werden.
Auf die Frage, in welchen Umkreis um v diese geodätischen Polarkoordinaten brauchbar sind, kommen wir später zu sprechen.
Vgl. Monge, G.: Application …, 5.Aufl. 1850, 4.Note, S. 583–588. Diguet: Journ. de Mathématiques (1), 13, 83–86 (1848).
Vgl. etwa Scheffers, G.: Theorie der Flächen, 2. Aufl., Leipzig 1913, S. 139ff. bzw. die Figur S. 141.
Die Existenz einer Fläche mit vorgegebener viermal stetig differenzierbarer erster Grundform negativer Gaußscher Krümmung hat Joachim Nitsche gezeigt: Archiv d. Math. 3, 50–59 (1952), Satz 3.
Poincaré, H.: Acta mathematica 1, 1–62 (1882).
Siehe Hopf, H.: Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven, Compositio Math. 2, 50–62 (1935). Der betreffende Satz gilt auch für den Parameterbereich mit der Flächenmetrik.
Bonnet, O.: Journal de l’Ecole Polytechnique 19, 131 (1848).
Ansätze zu einer Methode, wie man die Sätze dieses Abschnitts und überhaupt die wichtigsten Sätze der Biegungsgeometrie der Flächen mittels Approximation der Fläche durch Vielflache beweisen könnte, finden sich in der Arbeit von J.C. Maxwell: Transformation of surfaces by bending. Scientific papers of J. C. Maxwell, Vol. I, p. 80. Vgl. auch R. Sauer: Münchner Sitzungsberichte 1928, S. 97–104, sowie Jahresber. d. deutsch. Math. Vgg. Bd. 38, 2.Abt., S. 9. 1929.
Beltrami, E.: Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. Werke I, 1868, S. 374–405.
Beltrami, E.: Ricerche di analisi applicata alla geometria. Opere I, S. 107–198. Besonders Nr. XIV und XV.
Wegen der Literatur über diesen Gegenstand vgl. man Lichtenstein L.: Zur Theorie der konformen Abbildung … Bull. Acad. Cracovie 1916, 192–217 und Chern, S., Hartman, P., Wintner, A.: On isothermic coordinates, Comm. Math. Helvetici 28, 301–309 (1954).
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Blaschke, W., Leichtweiß, K. (1973). Innere Geometrie einer Fläche. In: Elementare Differentialgeometrie. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49193-1_7
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