Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der geometrischen Axiome. Höhere Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Es wird von den neueren Mathematikern großer Wert darauf gelegt, daß sich die Widerspruchslosigkeit der geometrischen Axiome beweisen läßt¹). Von philosophischer Seite wird dagegen eingewendet: „Nicht das Fehlen des Widerspruchs ist es, was die Existenz eines Begriffs beweist, sondern umgekehrt ist es die Existenz eines Begriffs, die seine Widerspruchslosigkeit verbürgt²)“ Grundsätzlich glaube ich, daß die letzte Auffassung durchaus zugegeben werden muß; trotzdem liegt in der Geometrie ein besonderer Fall vor, der einen Beweis der Widerspruchslosigkeit wünschenswert und zugleich möglich macht. Wer die unerschütterliche Überzeugung von der unbedingten Gültigkeit der Grundbegriffe der Geometrie und der von Euklid an sie geknüpften Axiome hat, wer, kurz gesagt, diese Axiome als etwas Notwendiges, d. h. „Apriorisches“, ansieht, wird wohl zunächst kein Bedürfnis nach einem solchen Beweis fühlen. Nun ist aber doch diese Überzeugung von der Apriorität der Geometrie neuerdings stark erschüttert worden. Jedenfalls wird man zugeben müssen, daß die euklidischen Axiome logisch nicht bewiesen werden können. Die Arithmetik jedoch wird so ziemlich allgemein als ein in sich notwendiges, apriorisches Gebiet angesehen; in der Tat lassen sich auch fast alle ihre Sätze „rein logisch“ beweisen³).