Zusammenfassung
Im Verfolg seiner bekannten Untersuchungen über permanente Wellen bei zweidimensionalen wirbelfreien Flüssigkeitsbewegungen45 ist Herr Levi-Civita auf das folgende Randwertproblem geführt worden. Es sind diejenigen von einem geeigneten kleinen Parameter abhängigen; in der Fläche des Einheitskreises K regulären, auf seiner Peripherie C nebst ihren Ableitungen erster Ordnung noch stetigen, analytischen Funktionen ω = ϑ + i τ zu bestimmen, die der Randbedingung
genügen. In (1) bezeichnet σ die von dem Punkte 1 der komplexen Ebene im positiven Sinne gezählte Bogenlänge des Kreises, p ist ein Parameter, der passend zu bestimmen ist. Wir fassen ϑ und τ auf C als Funktionen von σ auf und bezeichnen sie als solche mit ϑ(σ) und τ(σ). Es soll nun, und dies sind weitere Forderungen, die zu erfüllen sind,
gelten. Offenbar wird also \(\int\limits_0^{2\pi } {\vartheta d\sigma = 0} \) sein.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
References
Vgl. T. Levi-Civita, Détermination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie, Math. Annalen 93 (1925), S. 264–314.
Vgl. die von mir angeregte Leipziger Dissertation von Herrn Franz Neumann, Beitrag zu dem Problem der permanenten wirbelfreien Flüssigkeitsbewegung in Kanälen, Leipzig 1930, S. 1–40. Die Darstellung im Text ist erheblich einfacher als die des Herrn Neumann.
In der zweiten Gleichung (8) wird zwar zwischen 0 und σ* statt zwischen 0 und 2π integriert, doch läßt sich beispielsweise in der Form schreiben.
Vgl. beispielsweise É. Picard, Sur un théorème général relatif aux équations intégrales de première espèce et sur quelques problèmes de Physique mathématique, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 29 (1910), S. 79–97, insbesondere S. 96-97.
Das Verfahren von Liapounoff würde natürlich ebensogut zum Ziele führen.
Man vergleiche die Formel (56) auf S. 23. Im vorliegenden Falle kommt das Zeichen + zur Verwendung.
Es kommen hierbei, da der Kern log nicht beschränkt ist, insbesondere die Bemerkungen des § 10 in Betracht.
Es ist dabei zu beachten, daß p = m-x ist.
Man vergleiche die Formel (**) auf S. 24. Im vorliegenden Falle ist
Dies besagt, daß 03D1;(σ*) eine Ungleichheit von der Form erfüllt (vgl. die näheren Ausführungen auf S. 63).
Die hier zur Verwendung kommenden potentialtheoretischen Hilfssätze, die auf O. Hölder, Liapounoff und namentlich A. Korn zurückgehen, finden sich in meinem Encyklopädieartikel IIC 12, Neuere Entwicklung der Potentialtheorie. Konforme Abbildung, S. 201-203 zusammengestellt. Vgl. namentlich auch meine in der Fußnote 2 genannte Arbeit.
Die Entwicklungen dieses Paragraphen sind in einigen wesentlichen Stellen denjenigen meiner Arbeit, Untersuchungen über die Figur der Himmelskörper, Vierte Abhandlung, Zur Maxwellschen Theorie der Saturnringe, Math. Zeitschr. 17 (1923), S. 62-110, insbes. S. 83-95, nachgebildet. Die potenzreihentheoretische Methode von Herrn Levi-Civita leistet insofern mehr als das im Text eingeschlagene Verfahren, als sie zeigt, daß die Funktion ϑ + i τ sich auch noch auf dem Einheitskreise regulär verhält. Es sei in diesem Zusammenhange auf die Abhandlung von Herrn Nekrassow, Sur les ondes permanentes à la surface d’un liquide pesant (russisch) (1921, 1922), in der sich das gleiche Problem auf einem anderen Wege erledigt findet, hingewiesen (vgl. den Bericht in den „Proceedings of the first international congress for applied Mechanics, Delft, 1924“, S. 143-145). Weitere Anwendungen der Levi-Civitaschen Methode gibt D. J. Struik, Math. Annalen 95 (1926), S. 595-634. Man vergleiche im Zusammenhang mit diesen Problemen den Aufsatz von A. Weinstein, Mathematische Probleme aus der neueren Entwicklung der Hydromechanik, Naturwissenschaften 17 (1929), S. 381-385.
Vgl. T. Carleman, Über eine nichtlineare Randwertaufgabe bei der Gleichung Δu=0, Math. Zeitschr. 9 (1921), S. 35–43.
Man vergleiche des näheren die Ausführungen auf S. 87 und 100.
Man überzeugt sich leicht, daß auch dieses Problem für 0 ≦ h ≦ 1 nicht mehr als eine Lösung haben kann.
Näheres über die dritte Randwertaufgabe der Potentialtheorie findet sich beispielsweise in meinem Encyklopädieartikel IIC 3, Neuere Entwicklung der Potential théorie. Konforme Abbildung, S. 279-282. Es ist nicht schwer zu zeigen, daß E auf S durchweg positiv ist (vgl. S. 56-57).
Vgl. Carleman, loc. cit. 55, S. 40-41.
D. h. die in T, außer im Punkte (ξ, η, ζ), wo sie sich wie verhält, reguläre, auf S verschwindende Potentialfunktion.
Bekanntlich ist nach C. Neumann Vgl. beispielsweise L. Lichtenstein, Über eine Eigenschaft der klassischen Greenschen Funktion, Math. Zeitschr. 11 (1921), S. 319–320.
Man vergleiche beispielsweise die Entwicklungen meiner loc. cit. 2 genannten Arbeit, S. 327.
Vgl. loc. cit. 60, S. 326.
wir schreiben hier wie im folgenden in naheliegender Weise für wenn (x, y, z) in den Punkt σ auf S rückt
Vgl. beispielsweise meinen Encyklopädieartikel II C 3, S. 250 bis 251.
Vgl. beispielsweise loc. cit. 63, S. 251.
Wir denken uns irgendwie normiert. Dann hat mithin auch C einen bestimmten Wert.
Es handelt sich um den bekannten Satz, daß aus einer Folge gleichmäßig beschränkter, gleichgradig stetiger Funktionen gleichmäßig konvergente Teilfolgen ausgesondert werden können. (Vgl. beispielsweise H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1901, S. 300–309.)
Der zu gehörige Fredholmsche Nenner ist von Null verschieden. Er ist darum auch für alle hinreichend entfernten Glieder der Teilfolge der angebbar von Null verschieden. Es ist des weiteren zu beachten, daß für alle eine Ungleichheitsbezeichnung von der Form (48’) gilt.
Vgl. die Bemerkungen auf S. 105.
Wir nennen α1 den Hölderschen Koeffizienten, λ den Hölderschen Exponenten.
Die Höldersche Bedingung (52) ist der Ungleichheit obere Grenze (bei festgehaltenem s) äquivalent. Wir setzen zur Vereinfachung (52’) obere Grenze und erhalten somit (52“) Augenscheinlich ist eine ganz bestimmte, nicht notwendig stetige Funktion von s. Der H- Bedingung (51) können wir in ähnlicher Weise die bequeme Fassung geben. Hier bezeichnen und ganz bestimmte Funktionen von x und y.
Dieser Ungleichheit liegt zunächst die Voraussetzung h ≦ h 0,k ≦ k 0 zugrunde. Daß sie, nötigenfalls bei passender Vergrößerung von *a, nunmehr auch für beliebige h und k gilt, liegt auf der Hand.
Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme. I. Das einfachste Problem bei fester Begrenzung. Jacobische Bedingung und die Existenz des Feldes. Verzweigung der Extremalflachen, Monatshefte für Mathematik und Physik 28 (1917), S. 3–51, insbesondere S. 18-35. Eine vereinfachte Darstellung findet sich in der zweiten Abhandlung dieser Serie, Math. Zeitschr, 5 (1919), S. 26-51, insbesondere S. 34-40.
Nähere Angaben finden sich in meinem Encyklopädieartikel II C 12, Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, S. 1324-1329. Vgl. ferner S. Bernstein, Math. Annalen 95 (1926), S. 585–594; 96 (1927), S. 633-647.
Vgl. J. Schauder, Potentialtheoretische Untersuchungen, Teil I, Math. Zeitschr. 33 (1931), S. 602–640, insbesondere S. 634. Die entsprechenden Sätze für Gebiete der Klasse B h, d.h. Gebiete, die so beschaffen sind, daß die auf S. 63 eingeführten Funktionen y (x) bzw. x (y) stetige, der H-Bedingung genügende Ableitungen zweiter Ordnung haben, hat zuerst Herr Korn formuliert [vgl. A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’École Normale (3) 24 (1907), S. 9-75, insbesondere S. 9-26]. Dabei wird gleichzeitig angenommen, daß die Randfunktion stetige, der H-Bedingung genügende Ableitung zweiter Ordnung hat. Den tatsächlich durchgeführten Beweisen der Kornschen Arbeit liegen stetig gekrümmte Gebiete und Randfunktionen, die wie ϰ(s) beschaffen sind, zugrunde. Es sei schließlich bemerkt, daß es sich sowohl bei Korn wie bei Schauder um dreidimensionale Gebiete handelt.
Dies besagt, daß a, b, c in jedem ganz im Innern von T+S enthaltenen Bereiche L + C einer H-Bedingung (mit dem Exponenten λ) genügt. Der Höldersche Koeffizient hängt diesmal im allgemeinen von L+C ab.
Kriterien, die in manchen Fällen darüber zu entscheiden gestatten, ob ein Gebiet als „hinreichend klein“ angesehen werden kann, gibt neuerdings Herr Max Müller. Vgl. Max Müller, Über die Greensche Funktion des Laplaceschen Differentialausdruckes, Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Jahrgang 1929, 6. Abhandlung.
Man vergleiche hierzu meinen in der Fußnote 72 genannten Encyklopädieartikel II C 12, Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, S. 1287-1291, insbesondere die Fußnote 22. Bei dem Beweise der Formel (65) wird a. a. O. allerdings angenommen, daß a und b in T+S stetige, in T einer H-Bedingung genügende Ableitungen erster Ordnung haben, so daß eine zu (61) adjungierte Differentialgleichung existiert. Auch (61’) hat in diesem Falle eine Greensche Funktion H(ξ, η; x, y), und es gilt H (ξ, η: x, y) = G (x, y; ξ, η). Unter den Voraussetzungen des Textes findet sich die Formel (65) abgeleitet in meiner Arbeit, Neue Untersuchungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. (Erscheint voraussichtlich in dem Bulletin international de l’Académie Polonaise des Sciences et des Lettres, 1931 oder 1932.)
Sogar mit einem beliebigen Exponenten μ<l. Der Höldersche Koeffizient hängt allerdings von der Wahl von μ ab.
Übrigens erfüllen im vorliegenden Falle a, b, c sogar in T+S eine H-Bedingung.
Haben a, b, c in T+S stetige, der H-Bedingung genügende partielle Ableitungen erster Ordnung, so gibt (69) nach einer teilweisen Integration somit Diesmal sind also in T reguläre, auf S verschwindende Lösungen der zu (61) adjungierten Differentialgleichung.
Vgl meine am Schluß der Fußnote 75 genannte Abhandlung.
Sogar mit einem beliebigen Exponenten μ < 1. Der Höldersche Koeffizient hängt allerdings von der Wahl von μ ab.
Vgl. meine am Schluß der Fußnote 75 genannte Arbeit.
wir setzen etwa voraus. Alsdann wird im Einklang mit den Ungleichheiten (54) gewiß
Sogar mit einem beliebigen Exponenten μ<1. Der Höldersche Koeffizient hängt allerdings von der Wahl von μ ab.
Vgl. É Picard, Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la méthode des approximations successives, Journal de Mathématiques (4) 6 (1890), S. 145–210, insbesondere S. 156-162. Siehe auch beispielsweise den Encyklopädieartikel II A 7c von A. Sommerfeld, S. 524.
Vgl. L. Lichtenstein, Zur Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung des elliptischen Typus, Math. Annalen 67 (1909), S. 559–575, insbesondere S. 566 die Fußnote *).
Mit den Lösungen der Differentialgleichung (82) in der Nachbarschaft einer gegebenen Lösung beschäftigt sich neuerdings in mehreren Arbeiten Herr R. Iglisch. Vgl. namentlich seine Dissertation, Reelle Lösungsfelder der elliptischen Differentialgleichung Δ u = F (u) und nichtlinearer Integralgleichungen, Math. Annalen 101 (1929), S. 98-119, sowie: Aufbau der Theorie der ersten Randwertaufgabe von Δ u = F (u, x, y) bei mit Hilfe linearer Integralgleichungen, Jahresber. d. D. M. Ver. 39 (1930), S. 159-163. Die nichtlineare Integralgleichung des Problems wird von Herrn Iglisch durch sukzessive Approximationen gelöst. Dabei wird angenommen, daß F und stetig sind und überdies die Lipschitzsche Bedingung erfüllt. (Man vgl. weiter unten S. 83.)
Dabei bezeichnet ϕ (t) natürlich die Randfunktion der Ausgangslösung z 0.
Das Integral ist hierbei als ein „inneres“ Integral aufzufassen. Es sei T 1, T 2, … irgendeine Folge von Gebieten, die folgende Eigenschaften haben. Alle T n sind in T enthalten; allemal liegt T n+S n ganz im Innern von T n+1; jeder Punkt von T liegt von einem n an in allen T n. Es sei ferner f(x, y) irgendeine in T + S erklärte stetige Funktion. Es ist dann, wie man leicht zeigen kann, lim vorhanden und von der speziellen Wahl der Folge T n unabhängig. Wir setzen Man beachte, daß T nicht notwendig einen Inhalt im Sinne von Peano und Jordan oder auch nur ein Maß im Sinne von Lebesgue hat. Daß auch jetzt noch die Auflösungsformel (65) mutatis mutandis gilt, folgt leicht aus den Ergebnissen meiner Arbeit, Über die erste Randwertaufgabe der Potentialtheorie, Sitzungsberichte der Berliner Math. Gesellschaft 15 (1916), S. 92-96.
Man sieht leicht, daß der Kern L(x, y; x 1 y 1) nicht der auf S.21ff. gegebenen Vorschrift gemäß gebildet ist.
Vgl. loc. cit.17 S. 1372.
Man vergleiche L. Lichtenstein, Neue Beiträge zur Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Math. Zeitschr. 20 (1924), S. 194–212, insbesondere S. 194-198. Siehe auch meinen Encyklopädieartikel II C 12, S. 1304-1305. A. a. O. finden sich die in Betracht kommenden Greenschen Funktionen.
Vgl. A. Hammerstein, loc. cit.186 b), S. 160-176; R. Iglisch, loc. cit. 77e und 81.
Vgl. beispielsweise meinen Encyklopädieartikel II C 12, S. 1330-1333, wo sich nähere Literaturangaben finden.
Eine von der im Text angegebenen nicht wesentlich verschiedene Art, gewisse Schranken für die Lösung a priori anzugeben, spielt schon in den vorhin genannten Untersuchungen von Herrn Bieberbach eine wesentliche Rolle. Vgl. L. Bieberbach, Δu = e u und die automorphen Funktionen, Math.Annalen 77 (1916), S. 173-212.
Die vorhin gefundene Schranke gilt auch für v = 1. Wir nehmen im Text v < 1 an, nur weil v = 1 bedeuten würde, unser eigentliches Problem wäre bereits gelöst.
Die soeben erledigte Randwertaufgabe kann man als Ausgangspunkt bei Behandlung derjenigen Probleme benutzen, die sich in der Theorie der Uni-formisierung darbieten. Vgl. meine loc. cit. 83 genannten Arbeiten.
Man vergleiche hierüber Näheres in meinem loc. cit. 83 genannten Encyklopädieartikel II C 12, S. 1320-1330. In diesem Zusammenhang ist auf die Arbeiten von Herrn Schauder zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen, Math. Zeitschr. 26 (1927), S. 47-65; ebenda S. 417-431, hinzuweisen. An der zuletzt genannten Stelle wird u. a. bewiesen, daß die Differentialgleichung Δz = f(x, y, z, p, q) in der f eine in dem ganzen fünfdimensionalen Räume erklärte, einer Ungleichheit von der Form f(x, y, z,p, q) ≦M genügende schlechthin stetige Funktion bezeichnet, für beliebige stetige Randwerte und für alle beschränkten Gebiete T, die keine punktartigen Randkomponenten besitzen, eine Lösung hat. Diese hat in T stetige, einer H-Bedingung mit beliebigem Exponenten λ<1 genügende partielle Ableitungen erster Ordnung, fast überall, d. h. höchstens mit Ausnahme einer Menge vom Lebesgueschen Flächenmaße Null, partielle Ableitungen zweiter Ordnung und erfüllt ebenfalls fast überall die Beziehung Δz=f(x, y, z, p, q). Ist G(x 1, y 1,; x, y) die zu T gehörige klassische Greensche Funktion, ist ferner θ*(x, y) diejenige in T+S stetige, in T reguläre Potentialfunktion, die auf dem Rande mit z übereinstimmt, so gilt in T überall.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Besonderer Hinweis
Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Rights and permissions
Copyright information
© 1931 Julius Springer in Berlin
About this chapter
Cite this chapter
Lichtenstein, L. (1931). Anwendungen. In: Vorlesungen über einige Klassen Nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-47600-6_2
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-47600-6_2
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-47229-9
Online ISBN: 978-3-642-47600-6
eBook Packages: Springer Book Archive