Die ganzen Quaternionen nach einer ungeraden Zahl als Modul

Zusammenfassung

Wir wollen jetzt dien Fall des Moduls v = m, unter m eine positive ungerade Zahl verstanden, näher betrachten. Da m ungerade ist, so gibt es zu jedem ganzen Quaternion

$$g = k_0 \varrho + k_1 i_1 + k_2 i_2 + k_3 i_3 $$

ein modulo m kongruentes mit ganzzahligen Komponenten; z. B. ist

$$g = k_0 \left( {1 + m} \right)\varrho + k_1 i_1 + k_2 i_2 + k_3 i_3 \left( {\bmod m} \right)$$

und da der Faktor k₀(l+m) gerade ist, so steht hier rechts ein Quaternion mit ganzzahligen Komponenten. Jedes beliebige ganze Quaternion wird daher einem, und offenbar auch nur einem, unter den m⁴ Quaternionen

$$q = q_0 + q_1 i_1 + q_2 i_2 + q_3 i_3 {\rm{ }}\left( {q_0 ,q_1 ,q_2 ,q_3 = 0,1,2, \ldots ,m - 1} \right)$$

((1))

modulo m kongruent sein. Mit anderen Worten:

Die m⁴ Quaternionen (1) bilden ein vollständiges Restsystem für den Modul m.