Zusammenfassung
In diesem Paragraphen werden nur solche konvexe Körper in Betracht gezogen, die folgende Eigenschaften besitzen: Die Distanz- und Stützfunktionen sind im ganzen Raum (mit Ausnahme des Nullpunktes) analytische Funktionen ihrer Argumente. Die Stützebenen haben Berührungen von genau erster Ordnung. Daraus folgt (vgl. 14, S. 23 und 16, S. 26), daß der Rand eines solchen Körpers durch gleichsinnig parallele Stützebenen umkehrbar eindeutig und analytisch auf die Einheitskugeloberfläche abgebildet ist.
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Literaturverzeichnis
Über die Determinantenbezeichnung s. S. 2.
Im Grunde genommen ist dieses und alle später vorkommenden Integrale über Ω als Summe zweier Integrale über Ω1 und Ω2 aufzufassen. Es erübrigt sich jedoch, dies in der Bezeichnung zum Ausdruck zu bringen.
Um dies einzusehen, hat man die Invarianz der entstehenden Randintegrale gegenüber Parametertransformationen heranzuziehen.
Damit und mit (5) kann man sofort die Monotonieeigenschaft 5. (29, S. 41) der gemischten Volumina aufs neue bestätigen.
Nach einer brieflichen Mitteilung von R. Brauer.
Man kann dies auch daraus schließen, daß das gemischte Volumen von Körpern, deren, einer ein Punkt ist, verschwindet.
Die direkte Verifikation dieser Identität erfordert eine etwas umständliche Rechnung, die sich auf die Gleichungen (2) zu stützen hat.
Vgl. 32, S. 49.
Dn-1 (E) ist die gewöhnliche reziproke Gausssche Krümmung des Eichkörpers.
Vgl. z. B. Blaschke [24] § 79-82.
Vgl. z. B. Blaschke [11] S. 108-110, [24] § 82.
M und f mögen so beschaffen sein, daß dieses Integral irgendeinen Sinn 1 hat. — da ist Abkürzung für da1da2 …dak.
Dies ist jedoch nicht immer der Fall, sondern nur falls die Bewegungsgruppe bezüglich der Elemente der betrachteten Menge transitiv ist, wenn also jedes Element durch eine Bewegung in ein beliebiges anderes übergeführt werden kann. Bei der Menge der Kreise in der Ebene trifft dies z. B. nicht zu. Hier kann f noch eine willkürliche Funktion des Radius sein, der ja bei Bewegungen invariant ist.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Bonnesen, T., Fenchel, W. (1934). Integralformeln für das Volumen und die gemischten Volumina. In: Theorie der Konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenƶgebiete, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-47404-0_8
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