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Spektrum und Asymptotik stark stetiger Halbgruppen positiver Operatoren

  • Günther Greiner
Conference paper
Part of the Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften book series (HD AKAD, volume 1982 / 3)

Zusammenfassung

Das Spektrum stark stetiger Halbgruppen positiver Operatoren auf Banach-verbänden, das heißt das Spektrum des zugehörigen Generators, stand im Mittelpunkt einer Arbeit von Derndinger [6] und einer früheren Arbeit des Verfassers [8]. Dort wurde gezeigt, daß das Spektrum bzw. Randspektrum solcher Halbgruppen starke Symmetrieeigenschaften bezüglich der reellen Achse aufweist. Das Randspektrum, das heißt die Menge der Spektralwerte mit maximalem Realteil, ist insbesondere deshalb von Interesse, weil es in gewissen Fällen das asymptotische Verhalten der Halbgruppe für große Zeiten bestimmt. So sind positive Halbgruppen auf Räumen C(K) (K kompakt) oder L1X, μ) immer dann exponentiell stabil, wenn das Randspektrum in der offenen linken Halbebene λ ∈ ℂ: Re λ < 0 enthalten ist (siehe [11]). Andererseits liegt exponentielles Wachstum vor, wenn das Randspektrum in der offenen rechten Halbebene enthalten ist. Im Falle, daß das Randspektrum auf der imaginären Achse liegt, erscheint es zunächst, als wären keine allgemein gültigen Aussagen möglich.

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Literaturverzeichnis

  1. 1.
    Arendt, W.: Über das Spektrum regulärer Operatoren. Diss. Univ. Tübingen 1979Google Scholar
  2. 2.
    Axmann, D.: Struktur-und Ergodentheorie irreduzibler Operatoren auf Banachver-bänden. Diss. Univ. Tübingen 1980Google Scholar
  3. 3.
    Angelescu, N., Protopopescu, V.: On a problem in linear transport theory. Rev. Roum. Phys. 22, 1055–1061 (1977)MathSciNetGoogle Scholar
  4. 4.
    Bourbaki, N.: Théories Spectrales, Chap. 1 et 2. Paris: Herman 1967zbMATHGoogle Scholar
  5. 5.
    Davies, E. B.: One-Parameter Semigroups. London New York: Academic Press 1980zbMATHGoogle Scholar
  6. 6.
    Derndinger, R.: Über das Spektrum positiver Generatoren. Math. Z. 172, 281–293 (1980)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  7. 7.
    Dunford, N., Schwartz, J. T.: Linear Operators, Part I. New York: Wiley 1958Google Scholar
  8. 8.
    Greiner, G.: Zur Perron-Frobenius-Theorie stark stetiger Halbgruppen. Math. Z. 177, 401–423 (1981)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  9. 9.
    Greiner, G., Nagel, R.: La loi „zéro ou deux“ et ses consequences pour le comportement asymptotique des operateurs positifs. J. math, pures appl. (erscheint 1982)Google Scholar
  10. 10.
    Greiner, G., Voigt, J., Wolff, M.: On the spectral bound of the generator of semigroups of positive operators. J. Operator Theory 5, 245–256 (1981)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  11. 11.
    Groh, U., Neubrander, F.: Stabilität startstetiger, positiver Operatorhalbgruppen auf C*-Algebren. Math. Ann. 256, 509–516 (1981)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  12. 12.
    Hale, J.: Theory of Functional Differential Equations. New York Heidelberg Berlin: Springer 1977zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  13. 13.
    Hejtmanek, J.: Dynamics and spectrum of the linear multiple scattering operator in the Banach lattice L1(ℝ3 x ℝ3). Transport Theory Statist. Phys. 8, 29–44 (1979)MathSciNetADSzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  14. 14.
    Hille, E., Phillips, R. S.: Functional Analysis and Semi-Groups. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc. 1957Google Scholar
  15. 15.
    Jörgens, K.: An asymptotic expansion in the theory of neutron transport. Comm. Pure Appl. Math. 11, 219–242 (1958)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  16. 16.
    Kishimoto, A., Robinson, D. W.: Subordinate semigroups and order properties. J. Austral. Math. Soc. (Ser. A) 31, 59–76 (1981)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  17. 17.
    Larsen, E. W.: The spectrum of the multigroup neutron transport operator for bounded spatial domains. J. Math. Phys. 20, 1776–1782 (1979)MathSciNetADSzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  18. 18.
    Lin, M.: On the „zero-two“ law for conservative Markov processes. Erscheint demnächstGoogle Scholar
  19. 19.
    Ornstein, D., Sucheston, L.: An operator theorem on L1-convergence to zero with applications to Markov kernels. Ann. Math. Statist. 41, 1631–1639 (1970)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  20. 20.
    Reed, M., Simon, B.: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 3. New York: Academic Press 1979zbMATHGoogle Scholar
  21. 21.
    Schaefer, H. H.: Topological Vector Spaces (4th print). Berlin Heidelberg New York: Springer 1980Google Scholar
  22. 22.
    Schaefer, H. H.: Banach Lattices and Positive Operators. Berlin Heidelberg New York: Springer 1974zbMATHGoogle Scholar
  23. 23.
    Schaefer, H. H.: On positive contractions in Lp-spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 257, 261–268 (1980)MathSciNetGoogle Scholar
  24. 24.
    Schaefer, H. H.: Ordnungsstrukturen in der Operatorentheorie. Jber. Deutsch. Math-Ver. 82, 33–50 (1980)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  25. 25.
    Scheffold, E.: Das Spektrum von Verbandsoperatoren in Banachverbänden. Math. Z. 123, 177–190 (1971)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  26. 26.
    Vidav, I.: Spectra of perturbed semigroups with applications to transport theory. J. Math. Anal. Appl. 30, 264–279 (1970)MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  27. 27.
    Winkler, W.: A note on continuous parameter zero-two law. Ann. Prob. 1, 341–344 (1973)zbMATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982

Authors and Affiliations

  • Günther Greiner
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität Auf der Morgenstelle 10TübingenDeutschland

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