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Zusammenfassung

Das Problem der Zerfällung von Kronecker-Produkten irreduzibler Darstellungen der SL(2, ℝ) in irreduzible wurde von Pukanszky [9] im Jahr 1961 in die Literatur eingeführt. Er behandelte den Fall, in dem beide Ausgangsdarstellungen der kontinuierlichen Serie angehören, und bestimmte die Vielfachheit und die Maßklasse, mit der die verschiedenen irreduziblen Darstellungen in der Zerfällung vorkommen. Seine Methode für das kontinuierliche Spektrum bestand darin, den Casimir-Operator der Produkt-Darstellung auf die unter der maximal-kompakten Untergruppe K biinvarianten Vektoren einzuschränken und aus den Spektral-Eigenschaften des dann entstehenden gewöhnlichen Differential-Operators auf die Spektral-Eigenschaften der Zerfällung in irreduzible Darstellungen zu schließen. In den folgenden Jahren wurde das Problem mehrfach wieder aufgenommen und verallgemeinert. Dabei wurden sehr verschiedene Methoden angewandt, und die Mathematiker und Physiker gebrauchten oft verschiedene Fachsprachen. Martin behandelte in [5] den Fall einer reellen Rang-1-Lie-Gruppe. Seine Methode beruht darauf, daß für Hauptserie⊗ Hauptserie die Kronecker-Produkt-Darstellung als Teildarstellung in die reguläre Darstellung eingebettet werden kann, und dann kann man die Plancherel-Formel der Gruppe anwenden. Dies schließt das Vorkommen der ergänzenden Serie aus, da das Plancherel-Maß von Hauptserie und diskreter Serie getragen wird. Außerdem hängt der genannte Einbettungsprozeß von allgemeinen Sätzen aus der Theorie der induzierten Darstellungen ab, die keine Information über die auftretenden Spektralmaße liefern. Für den Fall einer komplexen Lie-Gruppe hat Williams [15] diese Sätze so verschärft, daß er die Spektralmaße explizit auf das Plancherel-Maß beziehen kann. Die Physiker Mukunda und Radhakrishnan [8] beschränken sich auch auf die Fälle, wo die ergänzende Serie nicht vorkommt. Sie rechnen ziemlich explizit, aber sie verwenden physikalische Fachsprache, so daß ihre Arbeiten für einen Mathematiker schwer zugänglich sind. Ihre Methode ist völlig anders als die in der vorliegenden Arbeit angewandte. Insbesondere wird eine andere Realisierung der Darstellungen verwendet, und der Vergleich der Ergebnisse erfordert wohl nicht-triviale Umrechnungen.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978

Authors and Affiliations

  • Helmut Neunhöffer
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut der UniversitätHeidelbergDeutschland

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