Kompakte Riemann’sche Flächen

Zusammenfassung

Dieses große Kapitel ist der Theorie der kompakten RIEMANN’schen Flächen gewidmet. Tori sind Beispiele kompakter RIEMANN’scher Flächen. Es wird also die Theorie der elliptischen Funktionen verallgemeinert. Jeder algebraischen Funktion kann eine kompakte RIEMANN’sche Fläche zugeordnet werden und man erhält so jede kompakte RIEMANN’sche Fläche. Die kompakten RIEMANN’schen Flächen leisten für die Integration algebraischer Funktionen dasselbe wie die elliptischen Funktionen für die elliptischen Integrale. Der Triumph der Theorie der RIEMANN’schen Flächen ist es, inbesondere die ”Integrale erster Gattung“ einer algebraischen Funktion verständlich zu machen und das sogenannte JACOBI’sche Umkehrproblem zu lösen. Bis dahin ist ein langer Weg, an dessen Ende die berühmten Sätze der Theorie der RIEMANN’schen Flächen stehen, der Riemann-Roch’sche Satz, das Abel’sche Theorem und das Jacobi’sche Umkehrtheorem. Auf dem Weg dorthin muss auch die Topologie der kompakten RIEMANN’schen Flächen verstanden werden. Die topologische Klassifikation werden wir hier voll behandeln.