Potenzreihen – Alleskönner unter den Funktionen

Zusammenfassung

Ein Taschenrechner bietet neben den Grundrechenarten üblicherweise weitere Funktionen an, zum Beispiel die Berechnung des Kosinus oder des Sinus. Anders als die Grundrechenarten wird die Bestimmung solcher Funktionswerte nicht exakt durch elektronische Schaltungen, sondern durch Näherungen auf genügend viele Dezimalstellen durchgeführt. Das funktioniert, wie wir es schon beim Wurzelziehen auf S. 182 gesehen haben, durch eine Formulierung als Grenzwert.

Zu diesem Zweck werden Darstellungen von Funktionswerten als Grenzwerte benötigt. Genauer gesagt handelt es sich bei diesen Grenzwerten um Werte von speziellen Reihen, den Potenzreihen. Der Name kommt daher, dass Potenzen des Arguments der Funktion in den Reihengliedern auftauchen.

Neben der Definition solcher Reihen und dem Studium ihres Konvergenzverhaltens wird es in diesem Kapitel vor allem darum gehen, wie man Funktionen mit ihrer Hilfe darstellt und welche Funktionen so dargestellt werden können. Dabei stoßen wir wieder auf alte Bekannte, wie die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen.