Folgen – der Weg ins Unendliche

Zusammenfassung

Eine der wichtigsten Errungenschaften der Mathematik ist die konkrete Beschreibung vom Unendlichen. Dadurch wurde das Unendliche greifbar und mathematischen Aussagen zugänglich. Die Geschichte der Naturwissenschaften und Technik ist voll von Irrtümern, die man bei dem Versuch begann, Unendlichkeit zu fassen. Sie zeigen, wie komplex eigentlich unser heutiger Begriff des „Grenzwerts“ ist.

Folgen spielen bei der Beschreibung des Unendlichen eine entscheidende Rolle und sind daher eines der wichtigsten Handwerkszeuge in der Analysis. Zahlreiche neue, nützliche Begriffe lassen sich mit ihrer Hilfe definieren und erklären. Andererseits sind Folgen Grundlage für ganz alltägliche Dinge geworden: Ständig werden in Taschenrechnern, MP3-Playern oder für Wettervorhersagen Folgenglieder berechnet. Hierbei geht es um die Gewinnung von Näherungslösungen von Gleichungen. Wir werden in diesem Kapitel exemplarisch auf eine solche Anwendung eingehen.

Die Grundlage für einen fehlerfreien Einsatz von Folgen ist eine genaue Begriffsbildung. Die Erfahrung zeigt aber, dass sich viele damit zunächst schwertun. Doch mit ein wenig Routine und vielen Beispielen werden die Sachverhalte schnell überschaubar. Damit wir die späteren Anwendungen verstehen, müssen wir uns auf das abstrakte Konzept von Folgen und Grenzwerten einlassen. Dabei werden die Konvergenz von Zahlenfolgen, also die Existenz eines Grenzwerts, und gegebenenfalls die analytische Berechnung solcher Werte im Vordergrund stehen.