Fouriertheorie – von schwingenden Saiten

Zusammenfassung

Die Fouriertheorie ist eines der Gebiete der modernen Mathematik mit der breitesten Anwendung. In den meisten Wohnungen stehen heute Fernseher, CD- und DVD-Spieler und Verstärker, alles Geräte, die es ohne die moderne Signalverarbeitung nicht geben würde. Die mathematische Grundlage dafür ist die Fouriertheorie.

In diesem Kapitel wollen wir uns zum einen mit Fourierreihen, zum anderen mit der diskreten Fouriertheorie beschäftigen. Die kontinuierliche Fouriertransformation bleibt zunächst außen vor und wird im Kap. 33 zu Integraltransformationen behandelt. Während wir die Fourierreihen noch im Wesentlichen mit der uns bekannten Mathematik behandeln können, benötigt die Fouriertransformation für eine mathematisch korrekte Darstellung weitaus mehr Mittel.

Die Idee der Fouriertheorie ist es, beliebige Funktionen als Überlagerung von Schwingungen mit festen Frequenzen darzustellen. Es war schon der Grundgedanke von Fourier im 18. Jahrhundert, dass dies für beliebige periodische Funktionen möglich sei. Auch wenn sich diese ganz generelle Idee als falsch herausstellte, hat sich das Prinzip als sehr fruchtbar erwiesen.

Ist die Aufteilung einer Funktion (oder eines Signals) in seine Frequenzkomponenten erreicht, so ist Filterung oder Verstärkung einzelner Frequenzen beliebig möglich. Dass die Ermittlung dieser Komponenten in der Praxis effizient zu bewerkstelligen ist, ist der Verdienst der sogenannten schnellen Fouriertransformation.