Gebietsintegrale – das Ausmessen von Körpern

Zusammenfassung

Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel die Differenzialrechnung in das Mehrdimensionale übertragen haben, wollen wir nun den ersten Schritt unternehmen, auch die Integralrechnung auf höhere Dimensionen zu übertragen. Es gibt dabei viele verschiedene Integralbegriffe im Mehrdimensionalen, zum Beispiel Kurvenintegrale oder Oberflächenintegrale, mit denen wir uns erst im Kap. 27 beschäftigen werden. In diesem Kapitel wird es dagegen ausschließlich um sogenannte Gebietsintegrale gehen.

Kennzeichnend für Gebietsintegrale ist, dass die Dimension des Integrationsgebiets mit der Dimension des betrachteten Raums übereinstimmt. Im Zweidimensionalen integrieren wir über einen ebenen Bereich, im Dreidimensionalen über ein Volumen. Typische Anwendungen dieser Integrale sind die Berechnung von Volumen, Massen oder Schwerpunkten von Körpern.

Aus mathematischer Sicht sind die Gebietsintegrale, wenn man das schon bekannte Lebesgue-Integral aus dem Eindimensionalen als Spezialfall hinzuzählt, die Basis für die Definition der oben schon erwähnten komplizierteren Integraltypen. Es ist dieses Fundament, auf dem die Sätze der Vektoranalysis in Integralform und dadurch die mathematischen Modelle für die unterschiedlichsten naturwissenschaftlichen Theorien aufbauen, zum Beispiel die Maxwell’schen Gleichungen in der Elektrodynamik oder die Navier-Stokes’schen Gleichungen der Strömungsmechanik. Für die Physik und die Ingenieurwissenschaften spielt das Gebietsintegral also eine entscheidende Rolle.