Lineare Abbildungen und Matrizen – abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedrückt

Zusammenfassung

Eine Abbildung zwischen Vektorräumen, also zwischen Mengen mit einer Vektoraddition und einer skalaren Multiplikation, werden wir lineare Abbildung oder Homomorphismus nennen, wenn sie die Struktur der Vektorräume berücksichtigt, d. h., wenn sie additiv und multiplikativ ist. Diese Gleichheit der Strukturen besagt der Begriff Homomorphie.

In dieser Sichtweise ist eine lineare Abbildung durchaus abstrakt. Um so mehr, wenn man berücksichtigt, dass als Vektoren z. B. auch Polynome infrage kommen. Ein Beispiel einer linearen Abbildung ist hier etwa das aus der Analysis bekannte Differenzieren.

Jedoch gelingt es in endlichdimensionalen Vektorräumen, nach Wahl einer Basis jeder linearen Abbildung eine sehr anschauliche und vertraute Gestalt zu geben. Zu jeder linearen Abbildung gehört bezüglich gewählter Basen der Vektorräume eine Matrix. Diese die Abbildung darstellende Matrix charakterisiert die Abbildung eindeutig. Wir können so lineare Abbildungen endlichdimensionaler Vektorräume mit Matrizen identifizieren. Das Abbilden ist letztlich eine einfache Matrizenmultiplikation.

Durch diesen Prozess werden lineare Abbildungen auf Matrizen zurückgeführt, für die wir bereits ein Kalkül entwickelt haben.