Lineare Gleichungssysteme – Grundlage der linearen Algebra

Zusammenfassung

In fast allen Bereichen der linearen Algebra stößt man auf Aufgaben, die zu linearen Gleichungssystemen führen. Bereits einfache Fragestellungen nach Schnittpunkten von Geraden im Anschauungsraum liefern solche Systeme. Kompliziertere Aufgabenstellungen, wie etwa bei der Eigenwertproblematik oder der linearen Optimierung, können in zahlreichen riesigen Gleichungssystemen ausufern.

Aber solche Systeme spielen auch in vielen anderen Gebieten der Mathematik und auch in anderen Wissenschaften eine Rolle. Wir führen Beispiele aus der numerischen Mathematik, Physik, Statik, Politik und Elektrotechnik vor.

Weil es für die meisten Themenkreise der linearen Algebra unumgänglich ist, das Lösen von linearen Gleichungssystemen zu beherrschen, behandeln wir diese im vorliegenden ersten Kapitel zur linearen Algebra ausführlich. Wir entwickeln ein systematisches Verfahren zur Lösung solcher Systeme, das auch den meisten Computeralgebrasystemen zugrunde liegt. Bei diesem Verfahren, das nach Gauß und Jordan benannt ist, wird in einer ersten Phase geklärt, ob ein gegebenes lineares Gleichungssystem überhaupt lösbar ist. Im Fall der Lösbarkeit wird dann in einer weiteren Phase die Lösungsmenge auf eine effiziente Art und Weise bestimmt.