Differenzialrechnung – Veränderungen kalkulieren

Zusammenfassung

Die Differenzialrechnung ist mit Sicherheit das zentrale Kalkül der Mathematik in den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen. Den meisten Lesern werden deswegen die Begriffe Ableitung und Differenzial schon in verschiedenen Facetten begegnet sein. Häufig überlagern aber die mathematisch-technischen Aspekte den wesentlichen Charakter des Differenzierens, nämlich Veränderungen berechenbar zu machen. Das Konzept der Linearisierung eines funktionalen Zusammenhangs ist der entscheidende Hintergrund für die herausragende Bedeutung von Ableitungen.

Der Weg zur Differenzialrechnung wurde durch Sir Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) geebnet. Beiden stand ein genauer Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung und die damaligen Argumente von unendlich kleinen Größen wirken heute sehr vage. Mit dem Begriff des Grenzwerts, wie wir ihn in Kap. 6 kennengelernt haben, gibt es diese philosophischen Probleme beim Umgang mit Ableitungen nicht mehr. Somit liegt heute eine mathematisch exakte Definition vor, die wir in diesem Kapitel untersuchen. Die weitreichende Leistungsfähigkeit des Differenzierens lässt sich aber sicherlich erst abschätzen, wenn man etwa mathematische Modelle basierend auf Differenzialgleichungen in verschiedenen Anwendungen gesehen und genutzt hat (siehe u. a. Kap. 13).