Das thermodynamische Paradigma des Informationsflusses

Zusammenfassung

Betrachten wir im Folgenden einen Hohlkörper mit vorgegebenem Volumen und einer festen Anzahl N von Molekülen. Dieses thermodynamische System denken wir uns als abgeschlossen; es findet also keinerlei Wechselwirkung mit der Umgebung des Hohlraumes statt. Jedes Molekül in diesem Raum besitzt eine Energie (die sogenannte innere Energie), die durch seine mechanischen Eigenschaften (Masse, Geschwindigkeit) gegeben ist. Durch Kollision zweier Moleküle kann ein Austausch innerer Energie stattfinden. Die Summe E der inneren Energie aller Moleküle (und damit die mittlere Energie $E/N$ pro Molekül) bleibt allerdings konstant, da das System abgeschlossen ist. Jedes Molekül kann zudem nur eine endliche Anzahl $E_{1},\ldots,E_{m}$ verschiedener innerer Energieniveaus annehmen. Nach den Hauptsätzen der Thermodynamik findet nun so lange ein Austausch innerer Energie zwischen den Molekülen statt, bis ein Gleichgewichtszustand erreicht ist. Sei p _i die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Molekül das innere Energieniveau E _i , $i=1,\ldots,m$, annimmt, so kann die Entropie

$$\displaystyle-\sum\limits _{{i=1}}^{m}p_{i}\ln(p_{i})$$

(wobei wieder $0\cdot\ln(0)=0$ gelten soll) unter der Bedingung

$$\displaystyle\sum\limits _{{i=1}}^{m}p_{i}E_{i}=\frac{E}{N}\quad\text{(konstante mittlere Energie $E/N$ pro Molek{\"u}l)}$$

untersucht werden. Der Gleichgewichtszustand ist nun dadurch charakterisiert, dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den verschiedenen Energieniveaus $E_{1},\ldots,E_{m}$ erreicht wird, die die obige Entropie unter Festlegung der mittleren Energie $E/N$ pro Molekül maximiert. Die Natur, die diesen Gleichgewichtszustand herbeiführt, löst somit das folgende Maximierungsproblem: Da die zu maximierende Funktion stetig und strikt konkav ist und da der zulässige Bereich für (eine andere Wahl von hat physikalisch keinen Sinn) eine nichtleere, kompakte und konvexe Menge darstellt, gibt es immer einen eindeutigen Gleichgewichtszustand, der für durch gegeben ist, wobei α gleich dem Lagrange-Multiplikator zur Nebenbedingung ist.