Lokale Minimierung

Zusammenfassung

$$\displaystyle\min _{{\boldsymbol{x}}}\{ f(\boldsymbol{x})\},f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R},\; n\in\mathbb{N},f\in C^{2}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R})\,,$$

wobei $C^{l}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R})$ die Menge aller l-mal stetig differenzierbaren Funktionen $g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ (l = 0: nur Stetigkeit) bezeichnet und f als Zielfunktion bezeichnet wird. Somit ist ein Punkt $\boldsymbol{x}_{{\text{lok}}}\in\mathbb{R}^{n}$ mit

$$\displaystyle f(\boldsymbol{x})\ge f(\boldsymbol{x}_{{\text{lok}}})\quad\text{f{\"u}r alle}\quad\boldsymbol{x}\in U(\boldsymbol{x}_{{\text{lok}}})$$

gesucht, wobei $U(\boldsymbol{x}_{{\text{lok}}})\subseteq\mathbb{R}^{n}$ eine offene Umgebung von $\boldsymbol{x}_{{\text{lok}}}$ darstellt.

Die zu diesem lokalen Optimierungsproblem gehörende Kurve des steilsten Abstiegs ist gegeben durch das Anfangswertproblem

$$\displaystyle\dot{\boldsymbol{x}}(t)=-\boldsymbol{\nabla}f(\boldsymbol{x}(t))\,,\quad\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_{{0}}\,,$$

wobei $\boldsymbol{\nabla}f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ den Gradienten der Zielfunktion f bezeichnet.

Um im folgenden Satz Eigenschaften dieses Anfangswertproblems zusammenfassen zu können, benötigen wir den Begriff Metrik und den Fixpunktsatz von Stefan Banach.