Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält detaillierte Lösungen von allen in den vorangehenden Kapiteln angebotenen Übungsaufgaben. Soweit möglich, werden auch alternative Lösungswege gezeigt und ausführlich diskutiert.
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Notes
- 1.
Dies ist nichts anderes als die Legendre‐Gleichung, s. (4.6).
- 2.
- 3.
Für x < 0 gilt \(|e^{{-iux}}|=e^{{-u_{2}x}}\), und die Kontur muss in der oberen Halbebene geschlossen werden. Dies ist jedoch das Analytizitätsgebiet des Integranden, und wir erhalten \(f(x)|_{{x<0}}=0\), wie vorgeschrieben.
- 4.
Für die Potenzfunktion \(t^{{\nu}}\) ist die Laplace‐Transformation gegeben durch:
$$\int\limits _{0}^{{\infty}}e^{{-st}}t^{{\nu}}dt=\frac{\Gamma(\nu+1)}{s^{{\nu+1}}}\;,\qquad\;\nu> -1\;.$$Dieses Ergebnis folgt aus der Definition der Gamma‐Funktion.
- 5.
Wir möchten daran erinnern, dass der Vorfaktor \((-1)^{n}/2^{n}\) durch die Substitution \(p(x)=(1-x^{2})\to(x^{2}-1)/2\) entsteht.
- 6.
Wir möchten darauf hinweisen, dass die Relation \(C_{n}^{{\lambda}}(x)=(-1)^{n}C_{n}^{{\lambda}}(-x)\) für alle n gilt.
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© 2014 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Gogolin, A.O. (2014). Ausführliche Lösungen der Übungsaufgaben. In: Komnik, A., Tsitsishvili, E. (eds) Komplexe Integration. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41747-4_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-642-41747-4
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