Zusammenfassung
Orthogonale Polynome stellen ein sehr wichtiges Instrument der angewandten Mathematik dar. Insbesondere die Konturintegraldarstellungen der orthogonalen Polynome sind sehr nützlich in vielen Anwendungen. Das Ziel dieses Kapitels ist es, die Vorzüge der Methoden der komplexen Integration zu demonstrieren und die Zusammenhänge zwischen den orthogonalen Polynomen und den zuvor behandelten Spezialfunktionen aufzuzeigen. Zahlreiche Übungsaufgaben, die am Ende des Kapitels vorgeschlagen sind, werden dem Leser helfen, die behandelten Methoden effizient in der Praxis einzusetzen.
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Notes
- 1.
Manchmal wird diese Darstellung Standardform genannt.
- 2.
Besondere Sorgfalt gilt dabei den oberen und unteren Summengrenzen.
- 3.
Ein endliches reelles q 0 würde eine andere Polynomenklasse erzeugen, die sogenannten zugeordneten Laguerre‐Polynome \(L_{n}^{{\alpha}}(x)\) mit \(\alpha=q_{0}\), s. Aufgabe 4.4. Die entsprechende Gewichtsfunktion \(w(x)=x^{{\alpha}}e^{{-\frac{Q}{p_{1}}\; x}}\) reduziert sich auf (4.16) bei \(q_{0}=0\), sodass \(L_{n}^{0}(x)=L_{n}(x)\). Diese Polynome lösen die folgende DGL:
$$xy^{{\prime\prime}}+(\alpha+1-x)y^{{\prime}}+n\, y=0\;.$$(4.15) - 4.
Hier benutzen wir die Normierung (4.19). Alternativ könnten wir natürlich den Vorfaktor vor x n auf 1 setzen.
- 5.
Die Chebyshev‐Polynome der zweiten Art \(U_{n}(x)\) sind Lösungen der Gleichung
$$(1-x^{2})y^{{\prime\prime}}-3xy^{{\prime}}+n^{2}y=0\;$$und haben die Gewichtsfunktion \(w(x)=\sqrt{1-x^{2}}\). Sie sind ein Spezialfall der Jacobi‐Polynome \(P_{n}^{{(\alpha,\;\beta)}}(x)\) mit \(\alpha=\beta=1/2\).
- 6.
Die Situation r = 0 ist einfach – dieser Term trägt nicht bei, weil das entsprechende Integral dem Skalarprodukt von y m und y 0 entspricht und definitionsgemäß gleich \(\delta _{{m0}}N_{m}\) ist.
- 7.
Die notwendige Bedingung von lim\({}_{{x\to 0}}z\to 0\) ist hier natürlich erfüllt.
- 8.
Eine Anwendung der Legendre‐Polynome in dieser Form ist die Multipolentwicklung in der Elektrodynamik. Der reziproke Abstand zwischen zwei Punkten im Raum, die vektoriell durch \(\textbf{r}_{{1,2}}\) angegeben sind, lässt sich wie folgt darstellen (s. z. B. [13]):
$$\frac{1}{|\textbf{r}_{1}-\textbf{r}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{r_{1}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos{\theta}+r_{2}^{2}}}=\frac{1}{r_{1}}\sum _{{n=0}}^{{\infty}}P_{n}(\cos{\theta})\Bigl(\frac{r_{2}}{r_{1}}\Bigr)^{n}\;,\;\text{f{\"u}r}\; r_{1}> r_{2}\;.$$ - 9.
Die gleichen Ergebnisse folgen aus (4.26). Im Grenzfall \(x\to 1\) ergibt sich nämlich
$$\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}=\frac{d^{n}}{dx^{n}}\Bigl[(x-1)^{n}(x+1)^{n}\Bigr]\;\to\;\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x+1)^{n}\Bigr|_{{x\to 1}}=n!(1+1)^{n}\;.$$ - 10.
Offensichtlich gilt das gleiche Resultat auch für die Hermite‐Polynome in der kanonischen Form (4.29).
- 11.
Die genaue Gestalt des Schnitts ist nicht wichtig, da die rechte Seite von (4.49) keine ungeraden Potenzen von \(\sqrt{x^{2}-1}\) enthält.
- 12.
Auch für nichtganzzahlige n kann die Lösung der Legendre‐Gleichung durch das Schläfli‐Integral gegeben sein. Es definiert dann eine bei \(\text{Re}{z}> -1\) analytische Funktion von z, die auf der reellen Achse zwischen −1 und \(-\infty\) einen Schnitt besitzt. Diese Funktion wird Legendre‐Funktion genannt und genauso wie die Polynome durch \(P_{n}(z)\) bezeichnet. Um sich zu vergewissern, dass sie die Legendre‐Gleichung ebenfalls erfüllt, geht man wie folgt vor: Die Funktion (4.50) hat drei Verzweigungspunkte bei \(t=z\) und \(t=\pm 1\). Schneidet man die komplexe Ebene wie oben beschrieben durch und nimmt man an, dass der Punkt z nicht im Schnitt liegt, so kann die geeignete Kontur C an jedem Punkt der reellen Achse bei Re\(z=t> 1\) anfangen und dann die Punkte \(t=z\) und t = 1 im Inneren haben. Dann erhält der Term \((t-z)^{{-n-2}}\) den Vorfaktor \(e^{{2\pi i(-n-2)}}\), während der Term \((t^{2}-1)^{{n+1}}\) einen Faktor \(e^{{2\pi i(n+1)}}\) bekommt. Auf diese Weise kehrt die Funktion (4.50) zu ihrem Originalwert zurück: \((t^{2}-1)^{{n+1}}(t-z)^{{-n-2}}\to e^{{-2\pi i}}(t^{2}-1)^{{n+1}}(t-z)^{{-n-2}}\equiv(t^{2}-1)^{{n+1}}(t-z)^{{-n-2}}\) und die Gleichung ist erfüllt. Für weitere Details empfehlen wir [28].
- 13.
Für die hier betrachtete nichtkanonische Form der Hermite‐Polynome lautet die entsprechende DGL [vgl. mit (4.46)]:
$$\frac{dH_{n}(x)}{dx}=-2nH_{{n-1}}(x)\;.$$ - 14.
Wir nehmen an, dass das Definitionsintervall durch \([a,b]=[-1,1]\) gegeben ist.
- 15.
Für ein beliebiges \(n=\nu\) und komplexes z als Argument kann dieser Ausdruck auch als Definition der Legendre‐Funktion \(P_{{\nu}}(z)\) benutzt werden, die wir bereits in Fußnote Ch1.Footn12 dieses Kapitels diskutiert haben. Die entstehende Reihe ist in einem Kreis mit Radius 2 und mit dem Ursprung an z = 1 absolut konvergent. Hier können wir eine Parallele zum Zusammenhang zwischen der Gamma‐Funktion und der Fakultät ziehen: Die Erstere ist ebenfalls eine Verallgemeinerung der Letzteren auf komplexe Zahlen.
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© 2014 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Gogolin, A.O. (2014). Orthogonale Polynome. In: Komnik, A., Tsitsishvili, E. (eds) Komplexe Integration. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41747-4_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-41747-4_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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