Zusammenfassung
Das Ziel dieses Kapitels ist es, eine kurze Einführung in die fundamentalen Konzepte der Funktionentheorie zu geben. Es fängt mit der Definition analytischer Funktion an und führt über eine ausgedehnte Diskussion des Cauchy’schen Integralsatzes zu den ersten Anwendungen. Es wird versucht, den Leser mit der Laurent-Entwicklung sowie der einfachsten Formen der Auswertung der Integrale mittels Konturintegration vertraut zu machen. Im letzten Abschnitt werden diese Techniken eingesetzt, um die in der Praxis sehr nützlichen Eigenschaften der Fourier-Transformation im Komplexen zu diskutieren. Eine Reihe von Übungsaufgaben schießt das Kapitel ab.
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- 1.
Eine Alternative dazu wäre z. B. die Konvention \(0<\theta\le 2\pi\). Diese werden wir jedoch sehr selten benutzen.
- 2.
Diese Stetigkeitsforderung kann man abschwächen.
- 3.
Ein Gebiet ist einfach zusammenhängend, wenn dort jede geschlossene Kurve ‚zusammenziehbar‘ ist.
- 4.
Offensichtlich ist die Funktion \(f(z)/(z-a)^{{n+1}}\) für negative n analytisch zwischen \(C^{{\prime}}\) und C, sodass für diese Terme die Kontur \(C^{{\prime}}\) auf die Kontur C deformiert ist. Die Annahme, dass die Funktion \(f(z)\) analytisch zwischen C und \(C^{{\prime}}\) ist, bedeutet für die Laurent‐Entwicklung, dass die Terme mit positiven Potenzen von h einen Konvergenzkreis (um a herum) haben, der außerhalb von C liegt. Auf der anderen Seite konvergieren die Terme mit negativen Potenzen von h außerhalb eines Kreises, der selbst im Inneren von \(C^{{\prime}}\) liegt. Ein intuitives Bild für die Laurent‐Entwicklung ist, dass sie eine Aufspaltung der Funktion von \(f(z)\) in zwei Beiträge darstellt, einen der analytisch außerhalb von \(C^{{\prime}}\) ist, und einem anderen, der analytisch im Inneren von C ist.
- 5.
Zur Erinnerung: Die positive Umlaufrichtung ist die, bei der das umrandete Gebiet ‚links‘ bleibt.
- 6.
Wir möchten darauf hinweisen, dass es nicht zwingend ist, den Schnitt unbedingt entlang der negativen reellen Achse zu machen. Es reicht aus, \(\mathbb{C}\) entlang einer beliebigen Kurve zu schneiden, die den Verzweigungspunkt mit dem Unendlichen verbindet, solange das dabei entstehende Gebiet einfach zusammenhängend ist.
- 7.
P steht für principal value.
- 8.
In der Sprache der analytischen Fortsetzung lässt sich das auf folgende Weise formulieren. Wir benutzen den analytischen Zweig der Funktion \(1/\sqrt{z^{2}-1}\), für den \(f(z)\) und \(f(x)\) auf der reellen Achse für x > 1 den gleichen Wert liefern. Mithilfe der halbkreisförmigen Wege um den Punkt z = 1 herum, einmal in der unteren und einmal in der oberen Halbebene, lassen sich dann die Werte von \(f(z)\) auf \(C_{\pm}\) eindeutig bestimmen.
- 9.
Es ist klar, dass eine solche Subtraktion eines Polynoms an den Singularitäten des Integranden nichts ändert (ein Polynom ist schließlich überall analytisch). Insbesondere nimmt ein Polynom auf beiden Schnittkanten gleiche Werte an, und somit ergibt sich auch kein endlicher Beitrag zum Integral.
- 10.
Es ist aufschlussreich, auch den Grenzfall \(a\to 0\) näher zu betrachten. Der Term der Größenordnung \(O(1/a)\) muss offensichtlich verschwinden, was zur Relation
$$\sum{\text{Res}}R(z)|_{{{z\,\text{endlich}}}}=a_{{-1}}(0)$$führt, die besagt, dass die Summe aller Residuen der Pole bei endlichen z gleich dem Residuum im Unendlichen ist. Dies gilt für beliebige rationale Funktionen. Für nicht‐rationale Funktionen gilt es im Allgemeinen nicht. Der in a konstante Term, von der Ordnung \(O(a^{0})\), resultiert in einer weiteren interessanten Identität:
$$\int\limits _{{-1}}^{1}R(x)dx=\left[\sum{\text{Res}}|_{{{z\,\text{endlich}}}}-{\text{Res}}|_{{z=\infty}}\right]\ln\left(\frac{z-1}{z+1}\right)R(z)\;.$$(1.26) - 11.
Man beachte die korrekte Integrationsrichtung auf den ‚Blasen‘ – im Uhrzeigersinn.
- 12.
Es ist offensichtlich, dass für \(f(x-0)=f(x+0)\) die Stetigkeit wieder gegeben ist.
- 13.
Ein saubereres Vorgehen wäre es, zwei Abschnitte zu unterscheiden: y > 1 und y < 1. Dies ändert die Schlussfolgerungen nicht, weswegen wir darauf verzichten.
- 14.
Man beachte, dass diesmal die Kontur im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, was in einem Vorzeichenwechel resultiert.
- 15.
Wir möchten anmerken, dass die Ableitung bezüglich x und die Multiplikation der Fourier‐Transformierten mit ik nicht äquivalent sind. Dies liegt an der ‚Einseitigkeit‘ der von uns benutzten Transformation. Der Randterm, der durch die partielle Integration entsteht, verschwindet hier nicht.
- 16.
Alternativ könnten wir dasselbe natürlich durch eine Umskalierung der Integrationsvariablen in (1.16) erhalten.
- 17.
In vielen praktischen Anwendungen ist es jedoch ratsam, solch umfangreiche Nachschlagewerke wie z. B. [2] zu konsultieren.
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© 2014 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Gogolin, A.O. (2014). Grundlagen. In: Komnik, A., Tsitsishvili, E. (eds) Komplexe Integration. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41747-4_1
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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