Stabilität rationaler Übertragungsfunktionen

Zusammenfassung

Lineare SISO-Übertragungssysteme sind stabil, wenn sie auf jedes betragsbeschränkte Eingangssignal mit einem betragsbeschränkten Ausgangssignal antworten. Das trifft bei rationalen Übertragungsfunktionen zu, wenn alle Pole in der offenen linken Halbebene der komplexen Zahlen liegen. Jede Stabilitätsuntersuchung rationaler Funktionen sollte mit der Ermittlung der größten gemeinsamen Teiler von Zähler- und Nennerpolynomen zu beginnen. Dazu werden Resultanten, der Euklidische Algorithmus und die Bézoutsche Identität behandelt. Die Stabilititätsuntersuchungen folgen dem von E.J. Routh (1877) gewiesenen Weg. Die Routhschen Überlegungen fortführend, lassen sich auch die später hinzugekommenen Erkenntnisse von Orlando (1911) und Liènard-Chipart (1914) sowie Charitonov (1978) herleiten. Die populären Stabilitätskriterien von Hurwitz, Michailov, Leonhard und Cremer werden eingeordnet. Im Rahmen der Stabilitätsbetrachtungen von Polynomen mit parameterabhängigen Koeffizienten werden die Konstruktionsregeln für Wurzelortskurven vollständig bewiesen und beispielhaft zur ″Regelung mit großer Kreisverstärkung″ (high gain control) genutzt.