Nichtkonvexe Funktionale, Nebenbedingungen

Zusammenfassung

Bisher haben wir für Existenzbeweise Satz 13.8 verwendet, also die schwache Unterhalbstetigkeit konvexer Funktionen. Damit konnten wir Variationsprobleme lösen mit Integranden f = f (x; p) (unabhängig von z = u(x)), falls f konvex war in p. Um nun Probleme mit f = f (x; z; p) zu lösen, könnten wir die gemeinsame Konvexität in z und p fordern, doch diese Annahme ist in den seltensten Fällen erfüllt. Die Idee für den nachfolgenden Satz ist, dass mit der schwachen Konvergenz $\nabla {{u}_{k}}\rightharpoonup \nabla u$ die Werte stark konvergieren, ${{u}_{k}}\to u$. Dies sollte ausreichen, um im Argument z den Limes zu bilden. Dies ist tatsächlich der Fall und wir werden dieses Programm in diesem Abschnitt ausführen. Zentrales Hilfsmittel ist hierbei der Satz von Egoroff.