Zusammenfassung
Viele physikalisch-chemische Erscheinungen lassen sich modellmäßig durch die Annahme behandeln, dass die einzelnen Teilchen an vorgegebene Plätze eines periodischen Gitters gebunden sind. Wegen der geometrisch wohldefinierten Anordnung der Gitterbausteine wird die Berechnung der Konfigurationszustandssumme wesentlich erleichtert. Eine grundlegende Rolle spielt dabei die Abzählung von Anordnungsmöoglichkeiten der verschiedenen Typen von Bausteinen am Gitter. Wichtige Beispiele bilden Mischkristalle von zwei oder mehreren Atom- oder Molekülsorten. Wenn es sich bei einem Gitterbaustein um Teilchen (besetzte Gitterplätze) beim anderen um Leerstellen (unbesetzte Gitterplätze) handelt, spricht man vom sogenannten Gittergas-Modell. Beispielsweise eignet sich dieses Modell zur Beschreibung des Phasenverhaltens von gelöstem Wasserstoff in Metallen. Das zweidimensionale Gittergas-Modell bildet eine Grundlage der Theorie der lokalisierten Monoschicht-Adsorption. Der Ferromagnetismus und verwandte magnetische Phänomene beruhen auf den Einstellungsmöglichkeiten des magnetischen Spinmoments der Atome eines Kristalls. Die statistische Theorie dieser Ordnungserscheinungen geht auf Lenz und Ising (1926) zurück. Das Ising-Modell und andere Gittermodelle bildeten die Grundlage der modernen Theorie von Phasenübergäangen und der kritischen Erscheinungen
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Wird Gl. 9.18 nach der Teilchenzahl \(N_{\mathrm{A}}\) nicht bei konstanter Teilchenzahl \(N_{\mathrm{B}}\), sondern bei konstanter Zahl von Gitterplätzen \(N=N_{\mathrm{A}}+N_{\mathrm{B}}\) abgeleitet, so erhält man
$$\left(\frac{\partial A}{\partial N_{\mathrm{A}}}\right)_{N,T}=\ln{N_{\mathrm{A}}}-\ln{(N-N_{\mathrm{A}})}-\ln{z_{\mathrm{A}}}+\ln{z_{\mathrm{B}}}=\mu_{\mathrm{A}}-\mu_{\mathrm{B}}\,.$$Der letzte Ausdruck ergibt sich, wenn man zum Ausdruck in der Mitte durch Addition und Subtraktion von \(\ln{N}\) die Molenbrüche \(x_{\mathrm{A}}\) und \(x_{\mathrm{B}}\) einführt und das Ergebnis mit Gl. 9.19 vergleicht. Dieses Ergebnis entspricht der Austauschreaktion von B-Teilchen durch A-Teilchen bei konstanter Gesamtzahl von Gitterplätzen. Ein Beispiel für die Ableitung der Helmholtz-Funktion nach einer Teilchenzahl bei konstanter Zahl von Gitterplätzen bildet Gl. 9.4 bei der Behandlung des Langmuir-Modells. Das dort eingeführte chemische Potential pro adsorbiertem Teilchen, \(\mu^{a}\), ist dementsprechend als Differenz der chemischen Potentiale von besetzten und unbesetzten Gitterplätzen aufzufassen. Damit wird die zunächst überraschende Abhängigkeit der Größe \(\mu^{a}\) vom Bedeckungsgrad \(\theta(-\infty<\mu^{a}<+\infty\) für \(0<\theta<1\)) verständlich: Es ist dieselbe Abhängigkeit, wie sie sich auf Grund von Gl. 9.20 für die Größe \(\mu_{\mathrm{A}}-\mu_{\mathrm{B}}\) als Funktion von \(x_{\mathrm{A}}\) ergibt, also für einen Austausch eines B-Teilchens durch ein A-Teilchen bei konstanter Gesamtteilchenzahl des Mischkristalls.
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Findenegg, G.H., Hellweg, T. (2015). Gittermodelle von Mischungen. In: Statistische Thermodynamik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-37872-0_9
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