Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Bei den linearen Differentialgleichungen können wir zwei Arten unterscheiden: Es gibt solche, bei denen alle Koeffizienten konstant sind, und solche, bei denen das nicht der Fall ist, bei denen also manche Koeffizienten Funktionen in t sind. Man ahnt sofort, dass die Lösungsfindung bei jenen mit nichtkonstanten Koeffizienten im Allgemeinen schwieriger ist. Tatsächlich gibt es schon keine allgemeine Methode zur Lösungsfindung mehr, wenn nur die Ordnung größer gleich 2 ist. Umso erstaunlicher ist es, dass sich alle linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im Allgemeinen durch ein übersichtliches Schema lösen lassen (sofern die Störfunktion nicht zu sehr stört). Wir behandeln dies im vorliegenden Kapitel.

Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet

a _n a ⁽ⁿ⁾ (t) + a _n−1 a ^(n-1) (t) + · · · + a ₁ $\dot{x}$ (t) + a ₀ x(t) = s(t)

mit a _n , . . . , a ₀ ∈ ℝ und a _n ≠ 0. Ist die Störfunktion s = s(t) die Nullfunktion, so nennt man die Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen.