Die QR-Zerlegung einer Matrix

Zusammenfassung

In der Theorie ist das lineare Ausgleichsproblem einfach zu lösen, es ist hierbei nur das lineare Gleichungssystem $\,A^\top A \, x = A^\top b\,$ zu lösen. In den praktischen Anwendungen hat die Matrix A meist sehr viele Zeilen, sodass ein Lösen mit Bleistift und Papier nicht mehr möglich ist. Aber auch das (naive) Lösen der Normalgleichung mit einem Rechner ist nicht zu empfehlen: Das Berechnen von $\,A^\top A \,$ und anschließende Lösen des LGS $\,A^\top A \, x = A^\top b\,$ ist instabil und führt somit zu ungenauen Resultaten. Bei der numerischen Lösung des linearen Ausgleichsproblems ist die QR-Zerlegung der Matrix A hilfreich. Mit der QR-Zerlegung kann das lineare Ausgleichsproblem numerisch stabil gelöst werden.