Basen von Vektorräumen

Zusammenfassung

Jeder Vektorraum V hat eine Basis B. Eine Basis ist dabei ein minimales Erzeugendensystem, anders ausgedrückt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d. h., eine Basis B erzeugt den Vektorraum, und dabei ist kein Element in B überflüssig. Durch die Angabe einer Basis ist ein Vektorraum vollständig bestimmt. In diesem Sinne werden uns Basen nützlich sein: Anstelle den Vektorraum anzugeben, geben wir eine Basis an; damit haben wir dann auch den Vektorraum.

Ein Vektorraum hat im Allgemeinen viele verschiedene Basen, aber je zwei Basen eines Vektorraums ist eines gemeinsam: die Anzahl der Elemente der Basen. Diese Anzahl nennt man die Dimension eines Vektorraums. Kennt man die Dimension eines Vektorraums, so ist viel gewonnen: Es lässt sich dann schnell entscheiden, ob ein Erzeugendensystem oder eine linear unabhängige Menge eine Basis ist oder nicht.

Wie immer bezeichne $\mathbb{K}$ die Zahlenmenge ℝ oder ℂ.