LR-Zerlegung einer Matrix

Zusammenfassung

Wir betrachten das Problem, zu einer invertierbaren Matrix A ∈ ℝ^n×n und einem Vektor b ∈ ℝⁿ einen Vektor x ∈ ℝⁿ mit Ax = b zu bestimmen; kurz: Wir lösen das lineare Gleichungssystem Ax = b. Formal erhält man die Lösung durch x = A ⁻¹ b.

Aber die Berechnung von A ⁻¹ ist bei einer großen Matrix A aufwendig. Die Cramer’sche Regel ist aus numerischer Sicht zur Berechnung der Lösung x ungeeignet. Tatsächlich liefert das Gauß’sche Eliminationsverfahren, das wir auch in Kapitel 9 zur händischen Lösung eines LGS empfohlen haben, eine Zerlegung der Koeffizientenmatrix A, mit deren Hilfe es möglich ist, ein Gleichungssystem der Form Ax = b mit invertierbarem A zu lösen. Diese sogenannte LR-Zerlegung ist zudem numerisch gutartig. Gleichungssysteme mit bis zu etwa 10 000 Zeilen und Unbekannten lassen sich auf diese Weise vorteilhaft lösen. Für größere Gleichungssysteme sind iterative Lösungsverfahren zu bevorzugen (siehe Kapitel 71).