Zusammenfassung
Wir erfahren, wie sich komplizierte Bewegungen aus einfachen Bewegungen zusammensetzen lassen, wobei wir uns auf Translationen (T) und Rotationen (R) in einer Ebene beschränken. Insbesondere untersuchen wir
-
Wurfparabeln (T-T),
-
Zykloiden (R-T), die entstehen, wenn ein Rad auf einer Ebene abrollt,
-
die Bewegung eines foucaultschen Pendels (T-R),
-
Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Ankers (R-R) und, als besondere tabellentechnische Herausforderung,
-
die Planetenbewegung nach Ptolemäus (R-R-R).
Wir ehren damit berühmte Personen: Bernoulli, Foucault, Steiner und Ptolemäus. Es werden systematisch Schieberegler und Makros sowie die Solver-Funktion eingesetzt, also Verfahren, mit denen wir uns in den vorangegangenen Kapiteln vertraut gemacht haben.
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Notes
- 1.
v0.x = C8 = [ = v.0*cos(a.0/180*pi())]; v0.y = C9 = [ = v.0*sin(a.0/180*pi())].
- 2.
Siehe Zelle B11 in Abb. 6.2b.
- 3.
In Abb. 6.3 (T) ist H17 die mit dem Schieberegler verbundene Zelle (linked cell). Min = 0, Max = 1500, wie aus der Stellung des Reiters abgeschätzt werden kann. H18 = H17/1000; H19 = H18.
- 4.
Das Wurfgeschoss erreicht bei t i = 1,25 s den Boden und trifft mit v = 8,01 m/s auf, \( v = \sqrt {v_{0x}^{2} + \left( {v_{0y} - g \cdot t_{i} } \right)^{2} } \) .
- 5.
scal = 0,2 s. Dieser Parameter bestimmt die Länge der Geschwindigkeitsvektoren in der Darstellung der Ebene (x [m], y [m]), siehe dazu Abschn. 5.4. Er steht in einer Gleichung der Art x [m] = x 0 [m] + scal * v [m/s]; scal hat die Einheit [s].
- 6.
Der Winkel φ wird von der positiven x-Achse aus gemessen.
- 7.
φ = π/2 = 90°.
- 8.
φ = 0 = 0°.
- 9.
Die Kreisfrequenz ist negativ, wenn der Punkt im Uhrzeigersinn läuft.
- 10.
Minimale Geschwindigkeit: Punkt auf der Fahrbahn; maximale Geschwindigkeit: am höchsten Punkt des Rades.
- 11.
\( \overrightarrow {{v}_{B}} = \left( {v_{x} \;;\;v_{y} } \right) = \left( {\left( {x\left( t \right) - x\left( {t - \Delta \,t} \right)} \right)/\Delta \,t;\left( {y\left( t \right) - y\left( {t - \Delta \,t} \right)} \right)/\Delta \,t} \right) \) also \( \left| {v_{B} } \right| = \sqrt {v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } \).
- 12.
Die Bahngeschwindigkeit wird über dem Mittelwert der Stützstellen aufgetragen, mit denen die Geschwindigkeit numerisch berechnet wird.
- 13.
Die mittlere Bahngeschwindigkeit <v> wird in H13 von Abb. 6.6 (T) berechnet.
- 14.
T = 20 s, Periodendauer des Geschwindigkeitsverlaufs, Geschwindigkeit der Achse = 2·π·5/20 = 1,57 [m/s].
- 15.
T = 12,7 s, \( \omega = 2\pi /T = \sqrt {g/l} \), Länge l des Pendels = 40 m.
- 16.
Die Erde dreht sich an einem Tag um 360°, in 4 min um 1°, denn Δt = 1°/360°*24*60*60 s = 240 s.
- 17.
Der Ausschlag des Pendels geht von 0,5 bis 1,5. Der Aufhängepunkt des Pendels ist um die Strecke 1 gegen den Mittelpunkt verschoben. Die Amplitude ist 0,5.
- 18.
Das Verhältnis von Periodendauer des Pendels und Umlaufszeit des Tellers ist eine natürliche Zahl. In Abb. 6.12b ist das Verhältnis 9 zu 1. Das Pendel macht neun Schwingungen während einer Umdrehung des Tellers.
- 19.
T = 1,2 s, \( \omega = 2\pi /T = \sqrt {g/l} \), Länge l des Pendels = 0,36 m.
- 20.
Zelle D26 wird abgefragt.
- 21.
Die Zeit in M14 wird aus B26 entnommen, siehe die Formel in M15.
- 22.
\( x_{R} = x \cdot { \cos }\left( \alpha \right) + y \cdot { \sin }(\alpha ) \) und \( y_{R} = - x \cdot \sin \left( \alpha \right) + y \cdot { \cos }(\alpha ) \).
- 23.
Die Masse für den Punkt M wird schon in K3 berücksichtigt. Die Koordinaten in G5:I5 werden nur für den Streckenzug in Abb. 6.16 benötigt.
- 24.
Im Summenprodukt taucht (x − x S) zweimal als Argument auf, m aber nur einmal: Summenprodukt(x − x S; x − x S; m).
- 25.
\( \alpha = \alpha_{\rm{max}} cos(\omega t) \); die beiden Kenngrößen Amplitude α max und Kreisfrequenz ω werden so gewählt, dass die Schwingung gut aussieht.
- 26.
\( x = r_{1} \cdot \cos \left( {\omega_{1} t} \right) + r_{2} \cdot { \cos }(\omega_{2} t) \); \( y = r_{1} \cdot \sin \left( {\omega_{1} t} \right) + r_{2} \cdot \sin \left( {\omega_{2} t} \right) + y_{s2} \).
- 27.
1) Verhältnis der Radien von Epizykel und Deferent; 2) Verschiebung des Mittelpunktes des Deferenten gegen den Erdmittelpunkt; 3) Verschiebung des Mittelpunktes des Äquanten gegen den Mittelpunkt des Deferenten, 4) Phasenverschiebung der Epizykelbahn gegenüber dem gewählten Zeitnullpunkt oder Wahl des Zeitnullpunktes.
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Mergel, D. (2017). Zusammengesetzte Bewegungen. In: Physik mit Excel und Visual Basic. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-37857-7_6
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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