Axiome der Unendlichkeit

Zusammenfassung

Die beiden von Cantor entdeckten Wege zur Unendlichkeit – über die Diagonalkonstruktion und über die abzählbaren Ordinalzahlen – stellen sich als nur zwei von vielen Möglichkeiten heraus, das riesige Universum der überabzählbaren Mengen zu begreifen. In den 1930er Jahren hatten die Mathematiker begonnen, Mengen zu betrachten, die so groß waren, dass mit ihnen das Universum selbst modelliert werden kann: die sogenannten unerreichbaren und messbaren Kardinalzahlen. Auch diese unfassbar großen Mengen haben einen Einfluss auf das Wesen der Unendlichkeit und den Bereich des Beweisbaren. Wenn man daher (als Unendlichkeitsaxiom) ihre Existenz voraussetzt, dann ergeben sich Auswirkungen, die sogar bis in den Bereich der Arithmetik und der natürlichen Zahlen hineinreichen. Demnach hängt ein besseres Verständnis endlicher Objekte letztlich auch von einem besseren Verständnis der Unendlichkeit ab.