Natürliche unbeweisbare Aussagen

Zusammenfassung

Natürliche unbeweisbare Aussagen sind Aussagen über die natürlichen Zahlen, die mit den Mitteln der üblichen Arithmetik nicht beweisbar sind. Eine solche Aussage ist der verallgemeinerte Satz von Goodstein, zu dessen Beweis man ebenfalls (wie für den Beweis der Konsistenz der Arithmetik) die Induktion bis zu der Ordinalzahl ε₀ benötigt und der seinerseits die ε₀-Induktion impliziert. Entsprechendes gilt auch für den gewöhnlichen (in Kapitel 2 bereits mit hilfe der ε₀-Induktion bewiesenen) Goodstein-Satz, doch um das zu zeigen, wird eine detailliertere Analyse von Ordinalzahlen und Beweisen benötigt, die auch schnell wachsende Funktionen und ihre Zuordnung zu den abzählbaren Ordinalzahlen einschließt. Weitere unbeweisbare Sätze entstammen zwei gängigen Teilgebieten der Kombinatorik: Ramseytheorie und Graphentheorie. Das Beispiel aus der Ramseytheorie – der Satz von Paris-Harrington – hat eine ähnliche Wachstumsrate wie die Goodstein-Funktion, so dass es auf einem ähnlichen Niveau liegt wie der Satz von Goodstein. In der Graphentheorie gibt es zwei bemerkenswerte Sätze, den Satz von Kruskal und den Minorensatz, die sogar auf einem noch höheren Niveau liegen, also nur beweisbar sind, wenn man Eigenschaften der Unendlichkeit voraussetzt, die wesentlich stärker als die ε₀-Induktion sind.