Arithmetik

Zusammenfassung

Die schnittfreie Logik ist „einfach“ in dem Sinne, dass ihre gültigen Aussagen auf direktem Wege bewiesen werden können. Als Konsequenz davon kann ihre Konsistenz unter Verwendung elementarer, aus der formalen Arithmetik stammender Mittel gezeigt werden. Die Konsistenz der Arithmetik selbst lässt sich mit solchen Mitteln nicht beweisen – das ist die Aussage von Gödels zweitem Satz. Ein Grund dafür besteht darin, dass die Arithmetik die Induktion über die natürlichen Zahlen, also über die Ordinalzahlen bis ω umfasst, so dass für die arithmetische Wahrheit (im Gegensatz zur logischen Wahrheit) unendliche Prozesse benötigt werden. Wenn man jedoch Hilfsmittel zulässt, die von außerhalb der formalen Arithmetik stammen, dann lässt sich indem so erweiterten System auch die Konsistenz der Arithmetik zeigen. Ein derartiges Hilfsmittel ist die transfinite Induktion, also die Induktion bis zu Ordinalzahlen, die oberhalb von ω liegen. Tatsächlich bewies der deutsche Mathematiker Gerhard Gentzen in den dreißiger Jahren, dass die Konsistenz der Arithmetik folgt, wenn man die transfinite Induktion bis zu einer bestimmten Ordinalzahl ε₀ voraussetzt.