Logik

Zusammenfassung

Wir teilen die Logik auf in die Aussagenlogik (die Logik von „und“, „oder“ und „nicht“) und die Prädikatenlogik (die Logik der Relationen zwischen Einzelobjekten x, y, z, ... sowie der Quantoren „für alle x“ und „es gibt ein x“). Man könnte sagen, dass die Aussagenlogik der „endliche Anteil“ der Prädikatenlogik ist. Beide Arten der Logik sind konsistent und vollständig: Sie erzeugen keine Widersprüche und beweisen alle gültigen Aussagen, also alle Aussagen, die unter jeder Interpretation der Variablen wahr sind. Die Konsistenz der Logik ist recht trivial, aber ihre Vollständigkeit ist eine durchaus bemerkenswerte Eigenschaft (und steht in scharfem Kontrast zur Situation bei der Arithmetik, welche den gödelschen Unvollständigkeitssätzen unterliegt). Eine Möglichkeit, die Vollständigkeit der Logik zu beweisen, beruht auf der Konstruktion eines Systems für logische Ableitungen, das ganz ohne die Verwendung des Modus Ponens (auch Schnittregel genannt) auskommt, also ohne die altehrwürdige Schlussregel, dass, wenn A gilt und B aus A folgt, wir dann auch B folgern können.