Satz von Liouville

Zusammenfassung

Gegeben sei eine Flüssigkeit konstanter relativer Massendichte ρ = 1.

Die Flüssigkeit ist durch ihr Geschwindigkeitsfeld $\vec{v}(\vec{r},t)$ bestimmt.

Wegen ρ = 1 behält jedes Massenelement der Flüssigkeit sein Volumen:

Ein Flüssigkeitselement kann seine Form, nicht sein Volumen, ändern.

Man nennt (solche) Flüssigkeiten inkompressibel.

Sei ∂V die Randfläche eines beliebigen Flüssigkeitsvolumens V.

Ein Flächenelement $\mathrm{d}\vec{a}$ von ∂V bewegt sich in der Zeit dt um $\vec{v}\, \mathrm{d} t$.

Dies ändert das Volumen am Rand um $\mathrm{d}\vec{a}\cdot\vec{v}\,\mathrm{d} t$ (Fläche · Höhe).