Wiener-Prozesse

Zusammenfassung

Bei der Zeitplanoptimierung hatten wir bereits Probleme betrachtet, bei denen die Bearbeitungszeiten nicht mehr vorab bekannt waren und die daher durch eine Zufallsvariable modelliert wurden: Statt eines festen Wertes wurde eine – prinzipiell beliebige – Verteilung angenommen. Entsprechend sind auch die beobachteten Größen im Modell (etwa die Gesamtfertigungszeit) Zufallsvariablen, und wir sind an Aussagen über deren Verteilung interessiert. Dieses Modell lässt sich ausbauen für die Situation, in der sich die beobachtete Größe als Summe von sehr vielen unabhängigen Zufallsvariablen ergibt, sodass ein Übergang von einem diskreten zu einem kontinuierlichen Modell (hier: einem Wiener-Prozess) zweckmäßig ist.

Das erschließt interessante neue Anwendungsfelder, etwa in der Finanzmathematik – als Beispiel werden wir in diesem Kapitel ein einfaches Modell für Aktienkurse herleiten, das Black-Scholes-Modell . Diese Überlegungen sollen den Teil „Spielen – entscheiden – planen“ abschließen und illustrieren, wie mathematische Modelle plötzlich in ganz anderem Zusammenhang wieder auftauchen können. Andererseits sind oft auch ganz verschiedene Herangehensweisen für ähnliche Problemstellungen möglich – das in diesem Kapitel vorgestellte Modell für die Entwicklung einer Kapitalanlage hat z. B. einen engen Bezug zu den Modellen für die Populationsdynamik in Kap. 10, die ein völlig anderes Instrumentarium verwenden werden.

Dieses Kapitel ist insofern nicht unabhängig von den anderen zu verwenden, als dass es auf Kap. 5 aufsetzt, insbesondere werden die Überlegungen aus Abschn. 5.2 fortgeführt. Naturgemäß spielt in diesem Kapitel das Instrumentarium der Stochastik (vgl. Abschn. 2.3) eine große Rolle – wir werden es mit diskreten Verteilungen (Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung), mit der Normalverteilung als kontinuierlicher Verteilung (und ihren Quantilen) und dem Übergang zwischen beiden Welten (Stichwort Asymptotik, Abschn. 2.3.4) zu tun haben.